Đáp án:
Ta có:
$x^3+7y=y^3+7x$ (1)
$⇔x^3-y^3-7x+7y=0$
$⇔(x-y)(x^2+xy+y^2)-7(x-y)=0$
$⇔(x-y)(x^2+xy+y^2-7)=0$
$⇔\left[ \begin{array}{l}x-y=0(loại)\\x^2+xy+y^2-7=0\end{array} \right.$
Xét :
$x^2+xy+y^2-7=0$
$⇔2x^2+2xy+2y^2-14=0$
$⇔x^2+2xy+y^2+(x^2+y^2)=14$
$⇔(x+y)^2+(x^2+y^2)=14$
$⇒(x+y)^2≤14$
$⇒(x+y)≤3$
Vì $x;y∈\mathbb{N}$ nên ta thay:
TH1: x=1⇒y=1(loại vì x$\neq$ y)hay y=2 (nhận)
TH2:x=2⇒y=1(nhận)
Vậy pt có nghiệm $(x;y)=(1;2);(2;1)$
