Help me! Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=2(x^3+y^3+z^3)-(x^2y+y^2z+z^2x)\)

Maiphuong2001

6 năm trước

Help me!

Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=2(x^3+y^3+z^3)-(x^2y+y^2z+z^2x)\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 522 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

dungnthd

Đặt \(f(x)=2x^3-yx^2-z^2x+2(y^3+z^3)-y^2z\). Ta có
\(f'(x)=6x^2-2yx-z^2;f'(x)=0\Leftrightarrow x=x_1=\frac{1}{6}(y-\sqrt{y^2+6z^2})\)
\(x=x_2=\frac{1}{6}(y+\sqrt{y^2+6z^2})\)
Nhận xét: \(x_1otin (0;1)\), lập bảng biến thiên ta thấy khi \(x_2\in (0;1)\) hay \(x_2otin (0;1)\) thì \(\underset{x\in [0;1]}{Maxf(x)}=Max \left \{ f(0);f(1) \right \}\)
Mà \(f(0)=2(y^3+z^3)-y^2z\leq 2(y^3+z^3)-y^2z+(2-y-z^2)=f(1)\)
\(f(x)\leq f(1)=2y^3-zy^2-y+2z^3-z^2+2 \ (1)\)
Lại đặt \(g(y)=2y^3-zy^2-y+2z^3-z^2+2\)
\(g'(y)=6y^2-2zy-1;g'(y)=0\Leftrightarrow y=y_1=\frac{1}{6}(z-\sqrt{z^2+6})\)
\(y=y_2=\frac{1}{6}(z+\sqrt{z^2+6})\)
Nhận xét tương tự suy ra \(\underset{y\in [0;1]}{Max}g(y)=Max\left \{ g(0);g(1) \right \}\). Suy ra \(g(y)\leq g(1)=2z^3+2-z^2+(1-z)=2z^3-z^2-z+3\) (2)
Cuối cùng đặt \(h(z)=2z^3-z^2-z+3\) với \(z\in [0;1],h'(z)=6z^2-2z-1\)
\(h'(z)=0\Leftrightarrow z_1=\frac{1-\sqrt{7}}{6};z_2=\frac{1+\sqrt{7}}{6}\). Lập bảng biến thiên suy ra: \(\underset{z\in [0;1]}{Max}h(z)=h(1)=3 \ \ (3)\)
Dấu bằng xảy ra ở (1), (2), (3) khi x = y = z = 1.Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 đạt được khi x = y = z = 1.

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hàm số \(y=x^3-3x^2+4 \ \ (1)\)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = mx – 2m tại ba điểm phân biệt.

Help me!

Tính tích phân sau: \(I=\int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx\)

Giải phương trình: \(x\sqrt{x-1}=(2x-3)^2(2x-2)+x-2\)

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình: \(\small d:\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=2t\\ z=-1 \end{matrix}\right.\)và mặt phẳng \(\small (P): 2x+y-2z-1=0\)
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;2;1), song song với (P) và vuông góc với đường thẳng d.
b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mp(P).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

\(f(x)=(x-\sqrt{2})^{2}(x+\sqrt{2})^{2}\) trên đoạn \(\left [ -\frac{1}{2};2 \right ].\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AD = 3BC = 3\sqrt{3}a\), \(AB = 2\sqrt{2}a\), tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và góc tạo bởi đường thẳng SA với mặt phẳng (SCD).

Giải phương trình \(\log _{3}^{2}x-\log _{\sqrt{3}}(9x^{2})-1=0\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Giải bất phương trình: \(\sqrt{x}\geq \frac{x^{4}-2x^{3}+2x-1}{x^{3}-2x^{2}+2x}(x \in \mathbb{R})\)

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Trong một cuộc thi pha chế mỗi đội chơi được dùng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

(2.5 điểm) Cho hàm số \(y=x^3+(1-2m)x^2+(2-m)x+m+2\). Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng \(K=(0;+\infty )\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến