Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
`\frac{1}{a^2+b^2+c^2+a}=\frac{(a+b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2+ab+ac} \le \frac{a^2}{2a^2}+\frac{b^2}{b^2+ab}+\frac{c^2}{c^2+ac}=\frac{1}{2}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}`
`\frac{1}{a^2+b^2+c^2+b}=\frac{(a+b+c)^2}{a^2+2b^2+c^2+bc+ba} \le \frac{a^2}{a^2+ba}+\frac{b^2}{2b^2}+\frac{c^2}{c^2+bc}=\frac{1}{2}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{c+b}`
`\frac{1}{a^2+b^2+c^2+c}=\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+2c^2+ca+cb} \le \frac{a^2}{a^2+ca}+\frac{b^2}{b^2+cb}+\frac{c^2}{2c^2}=\frac{1}{2}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}`
Cộng từng vế ta có:
`\frac{1}{a^2+b^2+c^2+a}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2+b}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2+c} \le 3/2+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}=9/2`
`⇒ đpcm`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=1/3`
