bài 4
a)xét tam giác ABC có G là trung điểm BC(gt)
E là trung điểm AB(gt)
=>EG là đường trung bình tam giác ABC(đ/n)
=>EG//AC(t/c)
mà AB vuông góc với AC(gt)
=>EG vuông góc với AB
chứng minh tương tự có GF vuông góc với AC
Xét tứ giác AEGF có
EAF=90 độ(gt)
AEG=90 độ(EG vuông góc với AB)
GFA=90 độ(GF vuông góc với AC)
=>AEGF là hình chữ nhật(dhnb)
b)Xét tứ giác BEIF có
BE//IF(cùng vuông góc với AC)
BF//EI(gt)
=>BEIF là hình bình hành(dhnb)
c)có BEIF là hình bình hành(câu b)
=>BE=IF(t/c)
Mà BE=EA(E là trung điểm AB)
=>IF=EA
mà EA=GF(AEGF là hình chữ nhật)
=>IF=GF
Xét tứ giác AGCI có
F là trung điểm AC(gt)
F là trung điểm GI(FG=IF)
=>AGCI là hình bình hành(dhnb)
mà GI vuông góc với AC(GF vuông góc với AC)
=>AGCI là hình thoi(dhnb)
d)tứ giác AGCI là hình vuông<=> góc GAI=90 độ
<=>AF=FG=FI(trung tuyến thuộc cạnh huyền)
<=>AEGF là hình vuông(AEGF là hình chữ nhật,AF=FG)
<=>tam giác ABC vuông cân tại A(Flà trung điểm AC;E là trung điểm AB)
vậy AGCI là hình vuông<=>tam giác ABC vuông cân tại A
bài 5
giải
a)Xét tứ giác DPMQ có
PDQ=90 độ(tam giác DEF vuông tại D)
DPM=90 độ(ED vuông góc với MP)
DQM=90 độ(MQ vuông góc với DF)
=>DPMQ là hình chữ nhật(dhnb)
b)DPMQ là hình vuông<=>DM là phân giác góc PDQ
<=>M nằm ở vị trí giao điểm đường phân giác DM với cạnh BC
c)có I đối xứng với M qua DE(gt)
IM cắt DE ở P
=>P là trung điểm IM
Xét tam giác DIM có
DP vuông góc với IM(I đối xứng với M qua DE)
DP là trung tuyến tam giác IDM(P là trung điểm IM)
=>tam giác IDM cân tại D(t/c)
=>ID=DM(t/c)
DP là phân giác góc IDM(t/c)
=>IDP=PDM(t/c)
chứng minh tương tự tam giác DMK có
DM=DK;DQ là phân giác góc MDK
=>MDQ=KDQ(t/c)
=>ID=DK(=DM)
có IDK=IDM+MDK=IDP+PDM+MDQ+KDQ=2(PDM+MDQ)=2.PDQ=2.90=180 độ
=>I;D;K thẳng hàng
=>I đối với K qua D(đpcm)
bài 6
giải
a)Xét tam giác ABC có E là trung điểm AC(gt)
F là trung điểm BC(gt)
=>EF là đường trung bình tam giác ABC(đ/n)
=>EF//BC(t/c)
mà BC vuông góc với AB(tam giác ABC vuông tại B)
=>EF vuông góc với BC
có ME//BC(gt)
mà AB vuông góc với BC
=>ME vuông góc với AB
Xét tứ giác BMEF có
BME =90 độ(ME vuông góc với AB)
MBF=90 độ(tam giác ABC vuông tại B)
EFB=90 độ(EF vuông góc với BC)
=>BMEF là hình chữ nhật(dhnb)
b)Xét tứ giác BAKC có
E là trung điểm AC(gt)
E là trung điểm BK(B đối xứng với K qua E)
=>BAKC là hình bình hành(dhnb)
mà ABC=90 độ(tam giác ABC vuông tại B)
=>BAKC là hình chữ nhật(dhnb)
c)Xét tứ giác BGCE có
F là trung điểm BC(gt)
F là trung điểm EG(E đối xứng với G qua F)
=>BECG là hình bình hành(dhnb)
mà BC vuông góc với GE(EF vuông góc với BC)
=>BECG là hình thoi(dhnb)
d)tứ giác BGCE là hình thoi<=>GBE=90 độ
<=>BF=EF=FG(trung tuyến thuộc cạnh huyền)
<=>BMEF là hình vuông(BMEF là hình chữ nhật;FE=BF)
<=>tam giác ABC vuông cân tại B
vậy tứ giác BECG là hình vuông <=> tam giác ABC vuông cân tại B
bài 7(hình hơi rối)
giải
xét tam giác ABC có
D là trung điểm AB(gt)
E là trung điểm AC(gt)
=>DE là đường trung bình tam giác ABC(đ/n)
=>DE//BC(t/c)
chứng minh tương tự có EF là đường trung bình tam giác ABC
=>EF//AB
Xét tứ giác BDEF có
BD//FE(FE//AB)
DE//BF(DE//BC)
=>BDEF là hình bình hành(dhnb)
b)chứng minh tương tự có DF là đường trung bình tam giác ABC
=>DF=1/2AC(t/c)
xét tam giác AKC vuông tại K có
E là trung điểm AC(gt)
=>KE=AE/EC=1/2AC(trung tuyến thuộc cạnh huyền)
=>DF=KE(=1/2AC)
xét tứ giác DEFK có
DE//KF(DE//BC)
=>DFKE là hình thang(đ/n)
mà KE=DF(cmt)
=>DEFK là hình thang cân
c)xét tam giác ABH có
M là trung điểm AH(gt)
N là trung điểm BH(gt)
=>MN là đường trung bình tam giác ABH(đ/n)
=>MN//AB;MN=1/2AB
mà EF là đường trung bình tam giác ABC(cmt)
=>EF//AB;EF=1/2AB
xét tứ giác MNFE có
MN//EF(//AB)
MN=EF(=1/2AB)
=>MNFE là hình bình hành(dhnb)
có H là trực tâm tam giác ABC(gt)
=>CH vuông góc với AB(t/c)
mà AB//MN//FE(cmt)
CH vuông góc với MN;FE
chứng minh tương tự có ME là đường trung bình tam giác AHC
=>ME//HC(t/c)
=>ME vuông góc với MN;FE
=>MNFE là hình chữ nhật
=>MF=NE(t/c)(1)
MF cắt NE tại TĐ mỗi đường(2)
chứng minh tương tự có NP là đường trung bình tam giác BHC
=>BC//NP;NP=1/2BC(t/c)
mà DE//BC;DE=1/2BC(DE là đường trung bình tam giác ABC)
Xét tứ giác DEPN có
DE//NP(//BC)
DE=PN(=1/2BC)
=>DEPN là hình bình hành(dhnb)
Có AK vuông góc với AB(t/c)
mà BC//NP//DE(cmt)
=>AK vuông góc với NP;DE
chứng minh tương tự có pE là đường trung bình tam giác AHC
=>PE//AK(t/c)
=>PE vuông góc với NP,DE
=>NDEP là hình chữ nhật
=>NE=DP(t/c)(3)
NE cắt DP tại trung điểm mỗi đường(4)
từ (1)và(3)=>MF=NE=DP
từ(2)và(4)=>NE;DP;MF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
bài 8
thôi tạch đây mệt qué
