`a)` Ta có:
`\hat{KEP}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>\hat{NEP}=90°`
`=>\hat{NMP}=\hat{NEP}=90`
`=>MEPN` nội tiếp (vì có hai đỉnh kề nhau $M;E$ cùng nhìn cạnh $NP$ dưới góc vuông)
$\\$
`b)` `\hat{KAP}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>KA`$\perp AP$ tại $A$
`=>\hat{NAK}=90°`
`=>\hat{NMK}+\hat{NAK}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{NMK};\hat{NAK}` ở vị trí đối nhau
`=>MNAK` nội tiếp
`=>\hat{AMK}=\hat{KNA}` (cùng chắn cung $AK$)
`=>\hat{AMP}=\hat{KNP}`
$\\$
Xét $∆MAP$ và $∆NKP$ có:
`\qquad \hat{P}` chung
`\qquad \hat{AMP}=\hat{KNP}`
`=>∆MAP∽∆NKP` (g-g)
$\\$
Vì $MNAK$ nội tiếp
`=>\hat{MNK}=\hat{MAK}` (cùng chắn cung $MK$) $(1)$
Xét $∆MKN$ và $∆EKP$ có:
`\qquad \hat{KMN}=\hat{KEP}=90°`
`\qquad \hat{MKN}=\hat{EKP}` (hai góc đối đỉnh)
`=>∆MKN∽∆EKP` (g-g)
`=>\hat{MNK}=\hat{EPK}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>\hat{MAK}=\hat{EPK}`
Mà `\hat{EPK}=\hat{EAK}` (cùng chắn cung $EK$ của $(O)$)
`=>\hat{MAK}=\hat{EAK}`
Vì tia $AK$ nằm giữa hai tia $AM$ và $AE$
`=>AK` là phân giác của `\hat{MAE}`
$\\$
`c)` Vì $AK$ là phân giác của `\hat{MAE}`
`=>`$AK$ là phân giác của `\hat{MAH}`
`=>{KM}/{HK}={AM}/{AH}` $(3)$
Vì `\hat{KAP}=90°=>`$AP\perp AK$
`=>AP` là phân giác ngoài của `\hat{MAH}`
`=>{PM}/{PH}={AM}/{AH}` $(4)$
Từ `(3);(4)=>{KM}/{HK}={PM}/{PH}`
`=>PH.KM=PM.HK`
