`a)` Ta có:
`\hat{HBI}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AN}` (góc nội tiếp chắn cung $AN$)
`\hat{HMI}=1/ 2 sđ \stackrel\frown{CN}` (góc nội tiếp chắn cung $CN$)
Vì $N$ là điểm chính giữa cung $AC$
`=>\stackrel\frown{AN}=\stackrel\frown{CN}`
`=>\hat{HBI}=\hat{HMI}`
`=>BMHI` nội tiếp (vì có 2 đỉnh kề nhau $B;M$ cùng nhìn cạnh $HI$ dưới hai góc bằng nhau)
$\\$
`b)` Vì $M$ là điểm chính giữa cung $AB$
`=>\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{BM}`
Áp dụng tính chất góc có đỉnh bên trong đường tròn ta có:
`\qquad \hat{AHK}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{AN}+sđ\stackrel\frown{BM})=1/ 2(sđ\stackrel\frown{AN}+sđ\stackrel\frown{AM})=1/ 2sđ\stackrel\frown{MN}`
`\qquad \hat{AKH}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{AM}+sđ\stackrel\frown{CN})=1/ 2(sđ\stackrel\frown{AM}+sđ\stackrel\frown{AN})=1/ 2sđ\stackrel\frown{MN}`
`=>\hat{AHK}=\hat{AKH}`
`=>∆AHK` cân tại $A$
$\\$
Ta có:
`\hat{NCI}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{MN}` (góc nội tiếp chắn cung $MN$)
`\hat{NIC}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{CN}+sđ\stackrel\frown{BM})=1/ 2(sđ\stackrel\frown{AN}+sđ\stackrel\frown{AM})=1/ 2sđ\stackrel\frown{MN}`
`=>\hat{NCI}=\hat{NIC}`
`=>∆NIC` cân tại $N$
$\\$
`c)` Xét $∆MNI$ và $∆MCK$ có:
`\qquad \hat{M}` chung
`\qquad \hat{MNI}=\hat{MCK}` (chắn $2$ cung bằng nhau $BM$ và $AM$)
`=>∆MNI∽∆MCK` (g-g)
`=>{MN}/{MC}={MI}/{MK}`
`=>MK.MN=MI.MC`
$\\$
`d)` Ta có:
`\hat{INK}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BM}` (góc nội tiếp chắn cung $BM$)
`\hat{ICK}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AM}` (góc nội tiếp chắn cung $AM$)
Mà `\stackrel\frown{BM}=\stackrel\frown{AM}` (đã c/m)
`=>\hat{INK}=\hat{ICK}`
`=>CNKI` nội tiếp (vì có 2 đỉnh kề nhau $N;C$ cùng nhìn cạnh $IK$ dưới hai góc bằng nhau)
`=>\hat{IKH}=\hat{NCI}` (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
$\\$
Vì $BMHI$ nội tiếp (câu a)
`=>\hat{IHK}=\hat{IBM}` (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
Mà `\hat{NCI}=\hat{IBM}` (cùng chắn cung $MN$)
`=>\hat{IHK}=\hat{IKH}`
`=>∆IHK` cân tại $I$
`=>IH=IK` $(1)$
$\\$
Ta có:
`\hat{IBA}=\hat{IBC}` (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau $AN;CN$)
`=>BI` là phân giác `\hat{ABC}`
`\hat{ICA}=\hat{ICB}` (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau $AM;BM$)
`=>CI` là phân giác `\hat{ACB}`
Mà $I$ là giao điểm của $BI; CI$
`=>I` là giao điểm $3$ đường phân giác $∆ABC$
`=>AI` là phân giác `\hat{BAC}`
`=>\hat{CAB}=2\hat{KAI}`
Ta có:
`\qquad \hat{CKI}=\hat{CNI}` (do $CNKI$ nội tiếp)
Mà `\hat{CNI}=\hat{CAB}` (cùng chắn cung $CB$)
`=2\hat{KAI}`
`=>\hat{CKI}=2\hat{KAI}`
$\\$
Vì `\hat{CKI}` là góc ngoài `∆AKI`
`=>\hat{CKI}=\hat{KAI}+\hat{KIA}`
`=>2\hat{KAI}=\hat{KAI}+\hat{KIA}`
`=>\hat{KAI}=\hat{KIA}`
`=>∆KIA` cân tại $K$
`=>IK=AK` $(2)$
$\\$
Mà $∆AHK$ cân tại $A$ (câu b)
`=>AK=AH` $(3)$
Từ `(1);(2);(3)=>AH=AK=IH=IK`
`=>AHIK` là hình thoi
