a) Ta có: $\widehat{ABM} = \dfrac{\overparen{AM}}{2}$
$\widehat{ASB} = \dfrac{\overparen{AC} - \overparen{MB}}{2}$
mà $\overparen{AC} = \overparen{AB}$ ($ΔABC$ đều)
nên $\dfrac{\overparen{AC} - \overparen{MB}}{2} = \dfrac{\overparen{AB} - \overparen{MB}}{2} = \dfrac{\overparen{AM}}{2}$
⇒ $\widehat{ASB} = \dfrac{\overparen{AM}}{2}$
Vậy $\widehat{ABM} = \widehat{ASB}$
b) Do $ΔABC$ đều
nên $AD, \, BE$ cũng là đường trung tuyến
⇒ $AE = EC = \dfrac{AC}{2}; \, BD = DC = \dfrac{BC}{2}$
⇒ $ED$ là đường trung bình
⇒ $ED // AB$
⇒ $\widehat{EDC} = \widehat{ABC}$ (đồng vị)
mà $\widehat{BAC} = \widehat{ABC}$ ($ΔABC$ đều)
nên $\widehat{EDC} = \widehat{BAC}$
Xét tứ giác $ABDE$ có:
$\widehat{EDC} = \widehat{BAC}$
$\widehat{EDC}$ là góc ngoài của $\widehat{EDB}$
Do đó $ABDE$ là tứ giác nội tiếp
c) Ta có:
$S_{viên \, phân} = S_{quạt} - S_{ΔAOC}$
$= \dfrac{\pi.R^{2}.n}{360} - \dfrac{1}{2}AC.OE$
$= \dfrac{\pi.AO^{2}.120}{360} - \dfrac{1}{2}.AC.(\dfrac{AC\sqrt{3}}{2})$
$ = \dfrac{\pi.(\dfrac{AC\sqrt{3}}{3})^{2}.120}{360} - \dfrac{1}{2}.AC.(\dfrac{AC\sqrt{3}}{6})$
$ = AC^{2}.(\dfrac{\pi}{9} - \dfrac{\sqrt{3}}{12})$
