Đáp án:
a)Vì trong tam giác cân đường cao đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến nên suy ra $AH$ là đường đường trung tuyến $⇒ HB=HC$
Xét $\triangle ABC$ có
$HB=HC$
$HK \parallel AB$
$\Rightarrow HK $ là đường trung bình
$\Rightarrow AK=KC $
$\Rightarrow AK = KC = HK $ (Do tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông )
$\Rightarrow \triangle AHK$ cân tại K
b) Xét $\triangle ABC$ có
AH là đường trung tuyến
BK là đường trung tuyến
AH cắt BK tại G
$\Rightarrow G$ là trọng tâm
$\Rightarrow CG $ đi qua trung điểm AB
Mà I là trung điểm AB
$\Rightarrow $ I;C;G thẳng hàng
c) Do $\triangle ABC$ cân tại A
$\Rightarrow AB =AC $
Mà I là trung điểm AB
K là trung điểm AC
$\Rightarrow AI=AK $ hay $\triangle AIK$ cân
Vì trong tam giác cân đường cao đồng thời là đường phân giác nên suy ra $AH$ là đường đường phân giác $\widehat{BAC}$
$\Rightarrow \widehat{IAH} =\widehat{KAH}$
$\Rightarrow $ đpcm
d) Vì G là trọng tâm $\triangle ABC$ nên $AG=\frac{2}{3}AH$
Tương tự CG và BG cũng lập tỉ lệ
Vậy để g cách đều 3 đỉnh hay AG=CG=BG
⇔AH=BK=CI ⇔ AB=AC=BC
⇒$\triangle ABC$ đều
