`a,` Gọi `ƯCLN( 6n + 5 ; 3n + 2 )` là : `a . ( a ∈ N`* `)`

Ta có : `6n + 5` ⋮ `a`

           `3n + 2` ⋮ `a`

`⇔ 6n + 5` ⋮ `a`

   `2 . ( 3n + 2 )` ⋮ `a`

`⇔ 6n + 5` ⋮ `a`

     `6n + 4` ⋮ `a`

`⇔ ( 6n + 5 ) - ( 6n + 4 )` ⋮ `a`

`⇔ 1` ⋮ `a`

`⇔ a ∈ Ư( 1 ) = { 1 ; - 1 }`

Mà cần tìm số `a` lớn nhất nên `a = 1 .`

Vì `a = 1 ` nên `( 6n + 5 )/( 3n + 2 )` là phân số tối giản ( Điều phải chứng minh )

`b,` Ta có ; `( 6n + 5 )/( 3n + 2 ) = ( 6n + 4 + 1 )/( 3n + 2 ) = 2 + 1/( 3n + 2 )`

Vì `n ∈ N ⇒ 3n ≥ 0 ⇔ 3n + 2 ≥ 2`

`⇒ 1/( 3n + 2 ) ≤ 1/2`

`⇔ 2 + 1/( 3n + 2 ) ≤ 5/2`

Dấu "`=`" xảy ra khi `3n + 2 = 2`

`⇔ 3n = 0`

`⇔ n = 0`

Vậy , giá trị lớn nhất của `( 6n + 5 )/( 3n + 2 )` là : `5/2` với `n = 0 .`

Đáp án:

`a,`

`p = (6n + 5)/(3n + 2)` 

Gọi $UCLN (6n + 5; 3n + 2) = d$ (d ∈ N*)

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}6n + 5\vdots d \\3n + 2 \vdots d\end{array} \right.\)

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}6n + 5\vdots d \\2 (3n + 2) \vdots d\end{array} \right.\)

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}6n + 5\vdots d \\6n + 4 \vdots d\end{array} \right.\)

`-> (6n + 5) - (6n + 4) \vdots d`

`-> 1 \vdots d`

`-> d ∈ Ư (1) = {±1}`

mà d ∈ N*

`-> d = 1`

`-> p = (6n + 5)/(3n + 2)` tối giản

$\\$

`b,`

`p = (6n + 5)/(3n + 2)`

`⇔ p = (6n + 4 + 1)/(3n + 2)`

`⇔ p = (2 (3n + 2) + 1)/(3n + 2)`

`⇔ p = (2 (3n + 2) )/(3n + 2) + 1/(3n + 2)`

`⇔ p = 2 + 1/(3n + 2)`

Vì n ∈ N*

$→ 3n \geqslant 0 ∀ x$

$→ 3n + 2 \geqslant 2$

$→$ `1/(3n + 2)` $\leqslant$ `1/2`

$→$ `2 + 1/(3n + 2)` $\leqslant$ `2 + 1/2 = 5/2`

$→ p \leqslant $ `5/2`

`-> max p = 5/2`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`⇔ 3n + 2= 2 ⇔ 3n = 0 ⇔ n =0`

Vậy `max p = 5/2 ⇔ n = 0`