`a)` $∆ABC$ cân tại $A$ (gt)
`=>\hat{ABC}=\hat{ACB}`
`=>\hat{DBM}=\hat{ACB}`
Mà `\hat{ACB}=\hat{ECN}` (hai góc đối đỉnh)
`=>\hat{DBM}=\hat{ECN}`
$\\$
Xét $∆DBM$ và $∆ECN$ có:
`\hat{BMD}=\hat{CNE}=90°`
`BD=CE` (gt)
`\hat{DBM}=\hat{ECN}` (c/m trên)
`=>∆DBM=∆ECN` (ch-gn)
`=>DM=EN` (hai cạnh tương ứng) (đpcm)
$\\$
`b)` $∆DMI$ vuông tại $M$
`=>\hat{IDM}+\hat{DIM}=90°` (hai góc phụ nhau)
$∆ENI$ vuông tại $N$
`=>\hat{IEN}+\hat{EIN}=90°` (hai góc phụ nhau)
Mà `\hat{DIM}=\hat{EIN}` (hai góc đối đỉnh)
`=>\hat{IDM}=\hat{IEN}`
$\\$
Xét $∆DMI$ và $∆ENI$ có:
`\hat{DMI}=\hat{ENI}=90°`
`DM=EN` (câu a)
`\hat{IDM}=\hat{IEN}`
`=>∆DMI=∆ENI` (g-c-g)
`=>ID=IE` (hai cạnh tương ứng)
Mà $D;I;E$ thẳng hàng
`=>I` là trung điểm $DE$ (đpcm)
$\\$
`c)` Vẽ đường thẳng vuông góc $AB$ tại $B$ và đường thẳng vuông góc $AC$ tại $C$, hai đường thẳng này cắt nhau tại $F$
Vì $A;B; C$ cố định nên $F$ cố định
$\\$
Xét $∆ABF$ và $∆ACF$ có:
`\hat{ABF}=\hat{ACF}=90°`
$AF$ là cạnh chung
`AB=AC` (do $∆ABC$ cân tại $A$)
`=>∆ABF=∆ACF` (ch-cgv)
`=>BF=CF` (hai cạnh tương ứng)
$\\$
Xét $∆BDF$ và $∆CEF$ có:
`BF=CF` (c/m trên)
`\hat{DBF}=\hat{ECF}=90°`
`BD=CE` (gt)
`=>∆BDF=∆CEF` (c-g-c)
`=>DF=EF` (hai cạnh tương ứng)
`=>F` thuộc đường trung trực của $DE$
Mà $F$ cố định nên đường trung trực của $DE$ luôn đi qua điểm $F$ cố định (đpcm)
