Đáp án: $m > \dfrac{6(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{2\sqrt{3} - 3} } $
Giải thích các bước giải:
Đặt $ y = x² $
$PT ⇔ 3(y² - y + 1) - m\sqrt{(y + 1)(y² - y + 1)} + 3(y + 1) = 0 (*)$
Chia 2 vế của $(*)$ cho $y + 1$ và đặt :
$ t = \sqrt{\dfrac{y² - y + 1}{y + 1}} = \sqrt{y + 1 + \dfrac{3}{y + 1} - 3} ≥ \sqrt{2\sqrt{3} - 3}$
Ta có PT bậc 2 theo $t : 3t² - mt + 3 = 0(**)$
Để PT đã cho có 2 nghiệm $x$ phân biệt
$ ⇔ (*)$ có 1 nghiệm duy nhất $y > 0 (***)$
$ ⇔ (**)$ có nghiệm $t $ thỏa $ 0 < t_{1} < \sqrt{2\sqrt{3} - 3} < t_{2}$
Cần đồng thời 2 điều kiện:
1) $ Δ = m² - 36 ≥ 0 ⇔ m ≥ 6 (1)$ ( vì từ PT ban đầu $ ⇒ m > 0)$
2) $f(0) >0; f(\sqrt{2\sqrt{3} - 3}) < 0$. Với $f(t) = 3t² - mt + 3 $
$ f(0) = 3 > 0$
$ f(\sqrt{2\sqrt{3} - 3}) = 3(2\sqrt{3} - 3) - m\sqrt{2\sqrt{3} - 3} + 3 < 0$
$ ⇔ m\sqrt{2\sqrt{3} - 3} ≥ 6(\sqrt{3} - 1) ⇔ m > \dfrac{6(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{2\sqrt{3} - 3} } (2)$
Kết hợp $(1); (2) ⇒ m > \dfrac{6(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{2\sqrt{3} - 3} } $
Khi đó $: t_{2} = \dfrac{1}{t_{1}} > \dfrac{1}{\sqrt{2\sqrt{3} - 3}} > 1$
Từ $ t_{2} = \sqrt{\dfrac{y² - y + 1}{y + 1}} ⇔ t_{2}²(y + 1) = y² - y + 1$
$ ⇔ y² - (t_{2}² + 1)y + 1 - t_{2}² = 0 $
$ ⇒ y_{1}y_{2} = 1 - t_{2}² < 0 $ thỏa mãn $(***)$
