Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
2\sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n \\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{2\sqrt {n + 1} }} < \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{2\sqrt {n + 1} }} < \dfrac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)}}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{2\sqrt {n + 1} }} < \dfrac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{\left( {n + 1} \right) - n}}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{2\sqrt {n + 1} }} < \dfrac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{1}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{2\sqrt {n + 1} }} < \sqrt {n + 1} - \sqrt n
\end{array}\)
Vậy bất phương trình đã cho đã được chứng minh.
Áp dụng:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{2\sqrt {n + 1} }} < \sqrt {n + 1} - \sqrt n \\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }} < 2\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\\
\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} < 2\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right)\\
\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} < 2\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\\
\dfrac{1}{{\sqrt 4 }} < 2\left( {\sqrt 4 - \sqrt 3 } \right)\\
......\\
\dfrac{1}{{\sqrt {2500} }} < 2\left( {\sqrt {2500} - \sqrt {2499} } \right)\\
\Rightarrow 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + ..... + \dfrac{1}{{\sqrt {2500} }}\\
< 1 + 2.\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + 2\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ..... + 2\left( {\sqrt {2500} - \sqrt {2499} } \right)\\
= 1 + 2.\left[ {\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + .... + \left( {\sqrt {2500} - \sqrt {2499} } \right)} \right]\\
= 1 + 2.\left( {\sqrt {2500} - \sqrt 1 } \right)\\
= 1 + 2.\left( {50 - 1} \right)\\
= 99 < 100\\
\Rightarrow 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + ..... + \dfrac{1}{{\sqrt {2500} }} < 100
\end{array}\)
