Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
{\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {x - z} \right)^2} \ge 0,\forall x,y,z\\
\Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right) \ge 0,\forall x,y,z\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz \ge 0,\forall x,y,z\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + xz,\forall x,y,z\\
\Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge 2\left( {xy + yz + xz} \right),\forall x,y,z\\
\Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2xz,\forall x,y,z\\
\Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {x + y + z} \right)^2},\forall x,y,z\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3},\forall x,y,z
\end{array}$
Mà $x+y+z=1$
Nên ${x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \dfrac{1}{3}$
Dấu bằng xảy ra
$\left\{ \begin{array}{l}
x = y = z\\
x + y + z = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{3}$
Ta có đpcm.
