$n_{Na_2CO_3}=\dfrac{4,24}{106}=0,04(mol)$
$n_{HCl}=0,5.0,1=0,05(mol)$
$HCl+Na_2CO_3\to NaHCO_3+NaCl$
$\Rightarrow n_{NaHCO_3}=n_{Na_2CO_3}=0,04(mol)$
$n_{HCl\text{còn}}=0,05-0,04=0,01(mol)$
$HCl+NaHCO_3\to NaCl+CO_2+H_2O$
$\Rightarrow n_{CO_2}=n_{HCl}=0,01(mol)$
$\to V=V_{CO_2}=0,01.22,4=2,24l$
$n_{Ba(OH)_2}=0,2.0,1=0,02(mol)$
$Ba(OH)_2+2NaHCO_3\to BaCO_3+Na_2CO_3+2H_2O$
$\Rightarrow n_{BaCO_3}=0,02(mol)$
$\to m=0,02.197=3,94g$