Ta có B A D ^ + B H D ^ = 18 0 0 ⇒ B H D ^ = 4 5 0 \widehat{BAD} + \widehat{BHD} = 180^0 \Rightarrow \widehat{BHD} = 45^0 B A D + B H D = 1 8 0 0 ⇒ B H D = 4 5 0
Gọi n → ( a ; b ) ( a 2 + b 2 e q 0 ) \overrightarrow{n} (a; b) \ (a^2 + b^2 eq 0) n ( a ; b ) ( a 2 + b 2 e q 0 )
Do đường thẳng HB tạo với đường thẳng HD góc 450 nên
cos 4 5 0 = ∣ a − 3 b ∣ a 2 + b 2 . 10 ⇔ 2 a 2 + 2 a b − 2 b 2 = 0 ⇔ [ a = − 2 b b = 2 a \cos 45^0 = \frac{|a-3b|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{10}} \Leftrightarrow 2a^2 + 2ab - 2b^2 = 0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} a = -2b\\ b = 2a \ \ \ \end{matrix} cos 4 5 0 = a 2 + b 2 . 1 0 ∣ a − 3 b ∣ ⇔ 2 a 2 + 2 a b − 2 b 2 = 0 ⇔ [ a = − 2 b b = 2 a
Nếu a = -2b. Chọn a = 2, b = -1. Phương trình đường thẳng HB: 2x - y + 2 = 0
B(b; 2b + 2), D(3d - 1;d)
Do G là trọng tâm tam giác ADC nên B G = 2 G D ⇒ G B → = − 2 G D → ⇒ { b = 1 d = 1 ⇒ B ( 1 ; 4 ) , D ( 2 ; 1 ) BG = 2GD \Rightarrow \overrightarrow{GB} = -2 \overrightarrow{GD} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} b = 1\\ d = 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow B(1;4), D(2;1) B G = 2 G D ⇒ G B = − 2 G D ⇒ { b = 1 d = 1 ⇒ B ( 1 ; 4 ) , D ( 2 ; 1 )
Phương trình đường thẳng AB: 3x + y - 7 = 0; phương trình đường thẳng AD: x + 2y - 4 = 0
Suy ra A(2; 1) (loại)
Nếu b = 2a. Phương trình HB: x + 2y + 1 = 0
B(-2b - 1; b), D(3d - 1; d) ⇒ G B → = − 2 G D → ⇒ { b = 2 d = 2 ⇒ B ( − 5 ; 2 ) , D ( 5 ; 2 ) \Rightarrow \overrightarrow{GB} = -2 \overrightarrow{GD} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} b = 2\\ d = 2 \end{matrix}\right. \Rightarrow B(-5;2), D(5;2) ⇒ G B = − 2 G D ⇒ { b = 2 d = 2 ⇒ B ( − 5 ; 2 ) , D ( 5 ; 2 )
Phương trình AB: 3x + y + 13 = 0; Phương trình AD: 2x - y - 8 = 0. Suy ra A(-1; -10)
Do ABCD là hình bình hành suy ra A D → = B C → \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} A D = B C
Thử lại: cos A B D ^ = cos ( A B → ; A D → ) = 1 2 ⇒ B A D ^ = 4 5 0 \cos \widehat{ABD} = \cos (\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{BAD} = 45^0 cos A B D = cos ( A B ; A D ) = 2 1 ⇒ B A D = 4 5 0
