Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) $x² + y² - xy = 3 (*)⇔ 3 - xy = x² + y² - 2xy = (x - y)² ≥ 0 ⇔ xy ≤ 3 (1)$

$x² + y² - xy = 3⇔ 3 + 3xy = x² + y² + 2xy = (x + y)² ≥ 0 ⇔ 3xy ≥ - 3 ⇔ xy ≥ - 1(2)$

Từ $(1); (2) : - 1 ≤ xy ≤ 3 ⇒ xy = - 1; 0; 1; 2; 3$

@ $ xy = - 1$ thay vào $(*) ⇒ x² + y² = 2 ⇒ x = 1; y = - 1$ hoặc $ x = - 1; y = 1$

@ $ xy = 0 ⇒  x = 0$ hoặc $y = 0$ thay vào $(*) ⇒ x² + y² = 3$ không thỏa

@ $ xy = 1 ⇒ $ thay vào $(*) ⇒ x² + y² = 4$ không thỏa

@ $ xy = 2 $ thay vào $(*) ⇒ x² + y² = 5 ⇒ x = ±2; y = ±1$ hoặc $ x = ±1; y = ± 2$

@ $ xy = 3 ⇒ $ thay vào $(*) ⇒ x² + y² = 6$ không thỏa

b) Điều kiện $: x; y; z \neq0$

$\frac{4}{|z|} = |\frac{x}{y} + \frac{y}{x}| ≥ 2 ⇒ 0 < |z| ≤ 2 ⇒ |z| =1; |z| = 2$

@ Nếu $ |z| = 1 ⇒ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = ± 4 ⇔ x² + y² = ± 4xy$ không có nghiệm nguyên.

@ Nếu $ |z| = 2 ⇒ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = ± 2 ⇔ x² + y² = ±2xy ⇔ x = ±y = k ∈ Z; k \neq0 $

KL $: (x; y; z) = (k; k; 2);(k; - k; - 2); (-k; k; - 2); (- k;- k; 2) $ với $k ∈ Z; k \neq0 $

c) $(x + 1)(y + x) = 2y(x - y)$

$⇔ x² - (y - 1)x + 2y² + y = 0 (*)$

Coi $(*)$ là PT bậc 2 ẩn $x$ tham số $y$. Để $(*)$ có nghiệm thì:

$Δ_{y} = (y - 1)² - 4(2y² + y) = - 7y² - 6y + 1 ≥ 0 ⇔ (y + 1)(1 - 7y) ≤ 0 ⇔ - 1 ≤ y ≤ \frac{1}{7} ⇒ y = - 1; y = 0$ 

@ Nếu $y = - 1$ thay vào $(*): x² + 2x + 1 = 0 ⇒ x = - 1$

@ Nếu $y = 0$ thay vào $(*): x² + x = 0 ⇒ x = - 1; x = 0$

KL $: (x; y) = (-1; -1); (-1;0); (0; 0)$

d) Áp dụng BĐT Bunhiacosky:

$ x² + 4y² + 28 = 1.x² + 4(y² + 7) ≤ \sqrt[]{(1² + 4²)((x²)² + (y² + 7)²)} = \sqrt[]{17(x^{4}  + y^{4} + 14y² + 49}) (*)$ 

$ (x² + 4y² + 28)² ≤ 17(x^{4}  + y^{4} + 14y² + 49) $

Đã xảy ra dấu $"=" ⇒ \frac{x²}{1} = \frac{y² + 7}{4} ⇔ 4x² = y² + 7 ⇔ (2x - y)(2x + y) = 7$

@ $\left \{ {{2x - y = 1} \atop {2x + y = 7}} \right. ⇔\left \{ {{x = 2} \atop {y = 3}} \right. $ 

@ $\left \{ {{2x - y = - 1} \atop {2x + y = - 7}} \right. ⇔\left \{ {{x = - 2} \atop {y = - 3}} \right. $ 

@ $\left \{ {{2x - y = 7} \atop {2x + y = 1}} \right. ⇔\left \{ {{x = 2} \atop {y = - 3}} \right. $ 

@ $\left \{ {{2x - y = -7} \atop {2x + y = -1}} \right. ⇔\left \{ {{x = - 2} \atop {y = 3}} \right. $