Đáp án: $ u_{n} = (n + 4).2^{n}$
Giải thích các bước giải:
$\left \{ {{u_{1} = 10 (1)} \atop {u_{n + 1} = 2u_{n} + 2^{n + 1}(2)}} \right.$
Theo $(2)$ ta có:
$ u_{2} = 2u_{1} + 2^{2}$
$ u_{3} = 2u_{2} + 2^{3}$
$ u_{4} = 2u_{3} + 2^{4}$
.................................
$ u_{n} = 2u_{n - 1} + 2^{n}$
$ u_{n + 1} = 2u_{n} + 2^{n + 1}$
$⇔$
$ 2^{n - 1}u_{2} = 2^{n}u_{1} + 2^{n + 1}$
$ 2^{n - 2}u_{3} = 2^{n - 1}u_{2} + 2^{n + 1}$
$ 2^{n - 3}u_{4} = 2^{n - 2}u_{3} + 2^{n + 1}$
.................................
$ 2^{1}u_{n} = 2²u_{n - 1} + 2^{n + 1}$
$ 2^{0}u_{n + 1} = 2^{1}u_{n} + 2^{n + 1}$
Cộng tất cả lại:
$ u_{n + 1} =2^{n}u_{1} + n.2^{n + 1} = n.2^{n + 1} + 10.2^{n} = n.2^{n + 1} + 5.2^{n + 1} = (n + 5).2^{n + 1}$
$ ⇒ u_{n} = (n + 4).2^{n}$
