Đáp án:
$15)\quad C. \dfrac{a^3\sqrt{5}}{12}$
$16)\quad A. \dfrac{4\sqrt2 a^3}{3}$
$17)\quad D. \dfrac38$
$18)\quad D. \dfrac{a^3\sqrt3}{3}$
$19)\quad A. \dfrac{a^3\sqrt3}{4}$
$20)\quad$ Không có đáp án
$21)\quad C. \dfrac{a^3\sqrt2}{3}$
$22)\quad A. \dfrac{a^3}{4}$
$23)\quad A. \dfrac14$
$24)\quad C.\ 6\sqrt2$
$25)\quad A. \dfrac{\sqrt6a^3}{4}$
Giải thích các bước giải:
Câu 15:
Gọi $O$ là tâm của đáy $ABC$
$\Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
Ta có: $SO\perp (ABC)$ hình chóp đều
$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{2a^2 - \dfrac{a^2}{3}}$
$\Rightarrow SO = \dfrac{a\sqrt{15}}{3}$
Ta được:
$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SO = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{3}$
$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt5}{12}$
Câu 16:
Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$
$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{AB\sqrt2}{2} = a\sqrt2$
Ta có: $SO\perp (ABCD)$ (hình chóp đều)
$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{4a^2 - 2a^2}$
$\Rightarrow SO = a\sqrt2$
Ta được:
$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SO = \dfrac13\cdot 4a^2\cdot a\sqrt2$
$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{4a^3\sqrt2}{3}$
Câu 17:
Sửa đề: Hình chóp $S.ABCD$
Ta có:
$V_{S.AB'C'D} = V_{S.AB'C'} + V_{S.AC'D}$
$\qquad = \dfrac{SB'}{SB}\cdot \dfrac{SC'}{SC}\cdot V_{S.ABC} + \dfrac{SC'}{SC}\cdot V_{S.ACD}$
$\qquad = \dfrac14\cdot \dfrac12V_{S.ABCD} + \dfrac12\cdot \dfrac12V_{S.ABCD}$
$\qquad = \dfrac18V_{S.ABCD} + \dfrac14V_{S.ABCD}$
$\qquad = \dfrac38V_{S.ABCD}$
Do đó:
$\dfrac{V_{S.AB'C'D}}{V_{S.ABCD}} = \dfrac38$
Câu 18:
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$\quad AC^2 = AB^2 + BC^2$
$\Rightarrow BD = AC =\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = a\sqrt5$
$O$ là tâm của đáy
$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{a\sqrt5}{2}$
Ta có: $SO\perp (ABCD)$ (hình chóp đều)
$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{2a^2 - \dfrac{5a^2}{4}}$
$\Rightarrow SO= \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Ta được:
$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SO = \dfrac13\cdot 2a\cdot a \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt3}{3}$
Câu 19:
$V = S_{đ}.h = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot a = \dfrac{a^3\sqrt3}{4}$
Câu 20:
$V_{A'B'C'.ABC} = S_{ABC}.AA' = \dfrac12AB.BC.AA'$
$\Rightarrow V_{A'B'C'.ABC} = \dfrac12\cdot 2a\cdot a\cdot 2a\sqrt3 = 2a^3\sqrt3$
Câu 21:
Ta có: $SA\perp (ABCD)$
$\Rightarrow SA \perp AB$
$\Rightarrow SA =\sqrt{SB^2 - AB^2} = \sqrt{3a^2- a^2}$
$\Rightarrow SA = a\sqrt2$
Ta được:
$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABC}.SA = \dfrac13\cdot a^2\cdot a\sqrt2$
$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt2}{3}$
Câu 22:
Ta có: $SA\perp (ABC)$
$\Rightarrow AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$
$\Rightarrow \widehat{(SB;(ABC))} = \widehat{SBA} = 60^\circ$
$\Rightarrow SA = AB.\tan60^\circ = a\sqrt3$
Ta được:
$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SA = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot a\sqrt3$
$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{a^3}{4}$
Câu 23:
Ta có:
$\dfrac{V_{S.A'B'C}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SA'}{SA}\cdot \dfrac{SB'}{SB} = \dfrac14$
Câu 24:
Gọi $a,\ b,\ c$ lần lượt là độ dài ba cạnh của hình hộp $(a,\ b,\ c >0)$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$\begin{cases}a^2 + b^2 = 6\\b^2 + c^2 = 11\\c^2 + a^2 = 13\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a = 2\\b = \sqrt2\\c = 3\end{cases}$
Khi đó:
$V = abc = 6\sqrt2$
Câu 25:
Ta có: $V_{A'B'C'.ABC} = S_{ABC}.AA' = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot a\sqrt2$
$\Rightarrow V_{A'B'C'.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt6}{4}$
