Đáp án:
$a,$
Xét `ΔAHD` và `ΔAID` có :
`hat{AHD} = hat{AID} = 90^o`
`AH = AI` (giả thiết)
`AD` chung
`-> ΔAHD = ΔAID` (cạnh huyền - canh góc vuông)
$\\$
`-> hat{HAD} = hat{DAC}` (2 góc tương ứng)
hay `AD` là tia phân giác của `hat{HAC}`
$\\$
$\\$
$b,$
Vì `ΔAHD = ΔAID` (chứng minh trên)
`-> HD = ID` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
Xét `ΔHDM` và `ΔIDC` có :
`hat{HDM} = hat{IDC}` (2 góc đối đỉnh)
`HD = ID` (chứng minh trên)
`hat{MHD} = hat{CID} = 90^o`
`-> ΔHDM = ΔIDC` (góc - cạnh - góc)
$\\$
`-> DM = DC` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔMCD` cân tại `D`
$\\$
$\\$
$c,$
Có : `BC` cắt `MI` tại `D (1)`
$\\$
Xét `ΔAMC` có :
`MI` là đường cao
`CB` là đường cao
`MI` cắt `CB` tại `D`
`-> D` là trực tâm của `ΔAMC`
$\\$
Vì `ΔHDM = ΔIDC` (chứng minh trên)
`-> HM = IC` (2 cạnh tương ứng)
Ta có : `AH + HM = AM, AI + IC = AC`
mà `AH = AI, HM = IC`
`-> AM = AC`
`-> ΔAMC` cân tại `A`
mà `AN` là đường trung tuyến
`-> AN` là đường cao
`-> AN` đi qua `D (2)`
$\\$
Từ `(1)` và `(2)`
`-> BC, MI,AN` đồng quy tại `D`
