Qua $E$ vẽ đường thẳng song song $CN$ cắt $BM$ tại $P$ và cắt $OB$ tại $Q$
$PE$//$CN$
`=>\hat{QEH}=\hat{HCO}` (so le trong)
Tứ giác $AOHC$ có:
`\hat{CAO}+\hat{CHO}=90°+90°=180°`
`=>AOHC` nội tiếp
`=>\hat{HCO}=\hat{HAO}` (cùng chắn cung $OH$)
`=>\hat{QEH}=\hat{HAO}`
`=>\hat{QEH}=\hat{HAQ}`
`=>AEQH` nội tiếp (hai góc cùng nhìn cạnh $HQ$ dưới hai góc bằng nhau)
`=>\hat{QHE}=\hat{QAE}` (cùng chắn cung $QE$)
Mà `\hat{QAE}=\hat{BDE}` (cùng chắn cung $BE$ của $(O)$)
`=>\hat{QHE}=\hat{BDE}`
Mà hai góc `\hat{QHE}` và `\hat{BDE}` ở vị trí đồng vị
`=>HQ`//$DB$
Vì $H$ là trung điểm của $DE$
`=>Q` là trung điểm $EP$ (tính chất đường trung bình)
`=>PQ=EQ`
Xét $∆OBM$ có: $PQ$//$MO$
`=>{PQ}/{MO}={BQ}/{BO}` (hẹ quả định lý Talet)
Xét $∆OBN$ có: $EQ$//$NO$
`=>{EQ}/{NO}={BQ}/{BO}` (hệ quả định lý Talet)
`=>{PQ}/{MO}={EQ}/{NO}`
Mà $PQ=EQ$ (c/m trên)
`=>MO=NO`
Lại có $O;M;N$ thẳng hàng
`=>O ` là trung điểm $MN$ (đpcm)
