Bài 5:
a) ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC; ∠ABC = ∠ACB
Mà ∠ACB = ∠NCE (2 góc đối đỉnh)
⇒ ∠ABC = ∠NCE
Xét ΔBDM và ΔCEN có:
∠BDM = ∠CEN = $90^{o}$
BD = CE (gt)
∠MBD = ∠NCE (cmt)
⇒ ΔBDM = ΔCEN (c.g.c)
⇒ DM = EN (2 cạnh tương ứng)
b) Gọi I là giao điểm của BC và MN
Ta có: DM ⊥ BC; EN ⊥ BC
⇒ DM // EN ⇒ ∠DMI = ∠ENI (2 góc so le trong)
Xét ΔMDI và ΔNEI có:
∠MDI = ∠NEI = $90^{o}$
DM = EN (theo a)
∠DMI = ∠ENI (cmt)
⇒ ΔMDI = ΔNEI (g.c.g)
⇒ IM = IN (2 cạnh tương ứng)
⇒ I là trung điểm của MN
⇒ Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN
c) Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC); đường thẳng vuông góc với MN tại I cắt AH tại K
Xét ΔABH và ΔACH có:
AB = AC (theo a)
∠AHB = ∠AHC = $90^{o}$
∠ABH = ∠ACH (theo a)
⇒ ΔABH = ΔACH (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ ∠BAH = ∠CAH (2 góc tương ứng)
Xét ΔABK và ΔACK có:
AB = AC (theo a)
AK: cạnh chung
∠BAK = ∠CAK (cmt)
⇒ ΔABK = ΔACK (c.g.c)
⇒ ∠ABK = ∠ACK (2 góc tương ứng)
BK = CK (2 cạnh tương ứng)
Xét ΔMIK và ΔNIK có:
IM = IN (theo b)
IK: cạnh chung
∠MIK = ∠NIK = $90^{o}$
⇒ ΔMIK = ΔNIK (c.g.c)
⇒ MK = NK (2 cạnh tương ứng)
Ta có: ΔBDM = ΔCEN (theo a)
⇒ BM = CN (2 cạnh tương ứng)
Xét ΔKBM và ΔKCN có:
MK = NK (cmt)
BM = CN (cmt)
BK = CK (cmt)
⇒ ΔKBM = ΔKCN (c.c.c)
⇒ ∠MBK = ∠NCK (2 góc tương ứng)
mà ∠ABK = ∠ACK (cmt)
⇒ ∠ACK = ∠NCK
Mà ∠ACK + ∠NCK = $180^{o}$ (2 góc kề bù)
⇒ ∠ACK = ∠NCK = $\frac{180^{o}}{2}$ = $90^{o}$
⇒ CK cố định; AH cố định
⇒ K cố định
⇒ đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên BC
