Đáp án:
$a. P = \frac{x-2\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}+1}$
$b. P = \frac{1-\sqrt[]{3}}{2}$
$c.$ GTNN $P = 2\sqrt[]{3} - 4$ khi $x = 4 - 2\sqrt[]{3}$
Giải thích các bước giải:
$3.$ ĐKXĐ : $x ≥ 0 , x \ne 4 , x \ne 9$
$a.$ Ta có :
$A = \frac{\sqrt[]{x}-1}{\sqrt[]{x}-2} + \frac{\sqrt[]{x}+2}{3-\sqrt[]{x}} - \frac{10-5\sqrt[]{x}}{x-5\sqrt[]{x}+6}$
⇔ $A = \frac{(\sqrt[]{x}-1)(\sqrt[]{x}-3)}{(\sqrt[]{x}-2)(\sqrt[]{x}-3)} - \frac{(\sqrt[]{x}+2)(\sqrt[]{x}-2)}{(\sqrt[]{x}-3)(\sqrt[]{x}-2)} - \frac{10-5\sqrt[]{x}}{(\sqrt[]{x}-3)(\sqrt[]{x}-2)}$
⇔ $A = \frac{x-4\sqrt[]{x}+3-x+4-10+5\sqrt[]{x}}{(\sqrt[]{x}-3)(\sqrt[]{x}-2)}$
⇔ $A = \frac{\sqrt[]{x}-3}{(\sqrt[]{x}-3)(\sqrt[]{x}-2)}$
⇔ $A = \frac{1}{\sqrt[]{x}-2}$
⇒ $P = \frac{\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}+1} : A$
⇔ $P = \frac{\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}+1} : \frac{1}{\sqrt[]{x}-2}$
⇔ $P = \frac{\sqrt[]{x}(\sqrt[]{x}-2)}{\sqrt[]{x}+1}$
⇔ $P = \frac{x-2\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}+1}$
$b. x = 7 - 4\sqrt[]{3}$
⇔ $x = 4 - 4\sqrt[]{3} + 3$
⇔ $x = ( 2 - \sqrt[]{3} )^{2}$
⇔ $\sqrt[]{x} = \sqrt[]{(2-\sqrt[]{3})^{2}}$
⇔ $\sqrt[]{x} = | 2 - \sqrt[]{3} |$
⇔ $\sqrt[]{x} = 2 - \sqrt[]{3}$ ( do $2 - \sqrt[]{3} > 0 ⇒ | 2 - \sqrt[]{3} | = 2 - \sqrt[]{3}$ )
Thay vao $P$ :
$P = \frac{7-4\sqrt[]{3}-2(2-\sqrt[]{3})}{2-\sqrt[]{3}+1}$
⇔ $P = \frac{7-4\sqrt[]{3}-4+2\sqrt[]{3}}{3-\sqrt[]{3}}$
⇔ $P = \frac{3-2\sqrt[]{3}}{3-\sqrt[]{3}}$
⇔ $P = \frac{\sqrt[]{3}-2}{\sqrt[]{3}-1}$
⇔ $P = \frac{1-\sqrt[]{3}}{2}$
$c. P = \frac{x-2\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}+1}$
⇔ $P = \frac{\sqrt[]{x}(\sqrt[]{x}+1)-3(\sqrt[]{x}+1)+3}{\sqrt[]{x}+1}$
⇔ $P = \sqrt[]{x} - 3 + \frac{3}{\sqrt[]{x}+1}$
⇔ $P = ( \sqrt[]{x} + 1 ) + \frac{3}{\sqrt[]{x}+1} - 4$
⇔ $P + 4 = ( \sqrt[]{x} + 1 ) + \frac{3}{\sqrt[]{x}+1}$
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương :
$( \sqrt[]{x} + 1 ) + \frac{3}{\sqrt[]{x}+1} ≥ 2\sqrt[]{(\sqrt[]{x}+1).\frac{3}{\sqrt[]{x}+1}}$ với $∀ x ≥ 0$
⇔ $P + 4 ≥ 2\sqrt[]{3}$
⇔ $P ≥ 2\sqrt[]{3} - 4$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $\sqrt[]{x} + 1 = \frac{3}{\sqrt[]{x}+1}$
⇔ $( \sqrt[]{x} + 1 )^{2} = 3$
⇔ $\sqrt[]{x} + 1 = \sqrt[]{3}$
⇔ $\sqrt[]{x} = \sqrt[]{3} - 1$
⇔ $x = 4 - 2\sqrt[]{3}$ ( TM )
