Đáp án:
$B.\,\sqrt 2$
Giải thích các bước giải:
$\alpha$ là góc nhọn $⇒\begin{cases}\sin\alpha>0\\\cos\alpha>0\end{cases}$
$S=\sin\alpha+\cos\alpha$
$S^2=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2\\\,\,\,\,\,\,=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha\\\,\,\,\,\,\,=1+2\sin\alpha\cos\alpha$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho $2$ số dương $\sin\alpha,\,\cos\alpha$:
$\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{2}\ge \sqrt{\sin\alpha.\cos\alpha}$
$⇔\sin\alpha+\cos\alpha\ge 2.\sqrt{\sin\alpha\cos\alpha}$
$⇔(\sin\alpha+\cos\alpha)^2\ge 4\sin\alpha\cos\alpha$
$⇔\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha\ge 4\sin\alpha\cos\alpha$
$⇔2\sin\alpha\cos\alpha\le 1$
$⇒S^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha\le 1+1=2$
$⇒S\le \sqrt 2⇒S_{\max}=\sqrt 2$
Dấu "=" xảy ra khi:
$\sin\alpha=\cos\alpha$
$⇒\sin\alpha=\sin(90^o-\alpha)$
$⇒\alpha=90^o-\alpha$
$⇒2\alpha=90^o$
$⇒\alpha=45^o$
Vậy $S_{\max}=\sqrt 2$ khi $\alpha=45^o$.
