Đáp án:
`A_{min}=\sqrt{3}` khi `m=0`
Giải thích các bước giải:
`b)` Phương trình hoành độ giao điểm của `(P)y=x^2` và `(d)y=(2m+5)x-2m-1` là:
`\qquad x^2=(2m+5)x-2m-1`
`<=>x^2=(2m+5)x-2m-1`
`<=>x^2-(2m+5)x+2m+1`
Ta có: `a=1;b=-(2m+5);c=2m+1`
`∆=b^2-4ac=[-(2m+5)]^2-4.1.(2m+1)`
`=4m^2+20m+25-8m-4`
`=4m^2+12m+21`
`=(2m)^2+2.2m.3+3^2+12`
`=(2m+3)^2+12\ge 12>0`
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` với mọi $m$
Theo hệ thức Viet ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2m+5\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m+1\end{cases}$
$\\$
Để `x_1>0;x_2>0;x_1\ne x_2`
`=>`$\begin{cases}x_1+x_2=2m+5>0\\x_1x_2=2m+1> 0\end{cases}$
`=>`$\begin{cases}m> \dfrac{-5}{2}\\m> \dfrac{-1}{2}\end{cases}$`=>m> {-1}/2`
$\\$
Ta có: `A=|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|>0` với mọi `x_1;x_2> 0; x_1\ne x_2`
`A^2=(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2`
`=x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}`
`=2m+5-2\sqrt{2m+1}`
`=(2m+1-2\sqrt{2m+1}.1+1)+3`
`=(\sqrt{2m+1}-1)^2+3`
Với mọi `m> {-1}/2` ta có:
`\qquad (\sqrt{2m+1}-1)^2\ge 0`
`<=>(\sqrt{2m+1}-1)^2+3\ge 3`
`<=>A^2\ge 3`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}A\ge \sqrt{ 3}\\A\le -\sqrt{3}\ (loại\ vì\ A>0)\end{array}\right.$
`=>A\ge \sqrt{3}`
Dấu "=" xảy ra khi:
`\qquad (\sqrt{2m+1}-1)^2=0`
`<=>\sqrt{2m+1}=1`
`<=>2m+1=1`
`<=>m=0\ (thỏa\ đk)`
Vậy $GTNN$ của $A$ bằng `\sqrt{3}` khi `m=0`
