`a)`
Xét `ΔABC` và `ΔHBA` có:
`hat{B}:chung`
`hat{BAC}=hat{BHA}=90^o`
`⇒ΔABC`$\sim$`ΔHBA(g.g)`
`b)`
Theo câu `a)ΔABC`$\sim$`ΔHBA(g.g)`
`⇒(AB)/(HB)=(BC)/(BA)`
`⇒AB²=HB.BC(đpcm)`
`c)`
Áp dụng định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `ABC` ta có:
`BC²=AB²+AC²`
`BC²=12²+16²`
`BC²=144+256`
`BC²=400`
`BC=`$\sqrt[]{400}$
`BC=20(cm)`
Ta có:`AB²=HB.BC(cmb)`
`⇒12²=HB.20`
`⇒HB=12²:20`
`⇒HB=144:20`
`⇒HB=7,2(cm)`
Vì `AD` là đường phân giác của `hat{BAC}` nên:
`(BD)/(CD)=(AB)/(AC)`
`⇒(BD)/(CD+BD)=(AB)/(AC+AB)`
`⇒(BD)/(BC)=(AB)/(AC+AB)`
`⇒(BD)/(20)=(12)/(16+12)`
`⇒BD=(20.12)/(16+12)`
`⇒BD=(240)/(28)`
`⇒BD≈8,6(cm)`
Ta có:`CD=BC-BD=20-8,6=11,4(cm)`
`d)`
Áp dung định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `ABH` có:
`AB²=AH²+BH²`
`12²=AH²+7,2²`
`AH²=12²-7,2²`
`AH²=144-51,84`
`AH²=92,16`
`AH=`$\sqrt[]{92,16}$
`AH=9,6(cm)`
Vì `MN``/``/``BC`, áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét ta có:
`(AM)/(AB)=(AN)/(AC)`
Xét `ΔAMN` và `ΔABC` có:
`(AM)/(AB)=(AN)/(AC)(cmt)`
`hat{A}:chung`
`⇒ΔAMN`$\sim$`ΔABC(c.g.c)`
Mà `AK` và `AH` là `2` đường cao tương ứng
`⇒(S_(AMN))/(S_(ABC))=((AK)/(AH))^2=((3,6)/(9,6))^2=9/64`
`⇒S_(AMN)=9/64 .S_(ABC)`
Ta có:`S_(ABC)=1/2 .AB.AC=1/2 . 12.16=96(cm²)`
`⇒S_(AMN)=9/64 .96=13,5(cm²)`
Ta có:`S_(BMNC)=S_(ABC)-S_(AMN)=96-13,5=82,5(cm²)`
