Đáp án:
`a,`
Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔABC` có :
`hat{ACB} + hat{A} + hat{B} = 180^o`
`-> hat{ACB} = 180^o - 90^o - 60^o`
`-> hat{ACB} = 30^o`
Xét `ΔABC` có :
`hat{B} = 60^o, hat{ACB} = 30^o`
`-> hat{B} > hat{ACB}` (Do `60^o > 30^o`)
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`AC > AB`
$\\$
$\\$
$b,$
Xét `ΔAIM` và `ΔCIM` có :
`MI` chung
`hat{AMI} = hat{CMI} = 90^o`
`AM = CM` (Do `M` là trung điểm của `AC`)
`-> ΔAIM = ΔCIM` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
$\\$
$c,$
Do `ΔAIM = ΔCIM` (chứng minh trên)
`-> hat{C} = hat{CAI}` (2 góc tương ứng)
mà `hat{C} = 30^o`
`-> hat{CAI} = 30^o`
Có : `hat{IAB} + hat{CAI} = 90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A`)
`-> hat{IAB} = 90^o - hat{CAI} = 90^o - 30^o`
`-> hat{IAB} = 60^o`
Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔAIB` có :
`hat{AIB} + hat{IAB} + hat{B} = 180^o`
`-> hat{AIB} = 180^o - 60^o - 60^o`
`-> hat{AIB} = 60^o`
Xét `ΔAIB` có :
`hat{B} = 60^o, hat{AIB} = 60^o, hat{IAB} = 60^o`
`-> hat{B} = hat{AIB} = hat{IAB} = 60^o`
`-> ΔAIB` đều
$\\$
$\\$
$d,$
Do `ΔAIM = ΔCIM` (chứng minh trên)
`-> AI = CI` (2 cạnh tương ứng)
Do `ΔAIB` đều
`-> AI = IB`
mà `AI = CI` (chứng minh trên)
`-> IB = CI (= AI)`
`-> I` là trung điểm của `BC`
`-> AI` là đường trung tuyến của `ΔABC`
Có : `M` là trung điểm của `AC`
`-> BM` là đường trung tuyến của `ΔABC`
Xét `ΔABC` có :
`AI` là đường trung tuyến
`BM` là đường trung tuyến
`AI` cắt `BM` tại `G`
`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`
mà `AI` là đường trung tuyến
`-> IG = 1/3 AI`
mà `AI = IB` (chứng minh trên)
`-> IG = 1/3 IB`
mà `IB =1/2BC` (Do `I` là trung điểm của `BC`)
`-> IG = 1/3 . 1/2 BC`
`-> IG = 1/6BC`
`-> BC = 6IG`
