Đáp án:
`1) a) x_1=1; x_2=2 b) m_1=2; m_2=1/2`
`2) 12 km``/``h`
Giải thích các bước giải:
`1)` phương trình: `x^2-2(m+1)x+4m=0` `(1)`
`a)` Thay `m=1/2` vào phương trình `(1)` ta được:
`x^2-2(1/2+1)x+4. 1/2=0`
`<=> x^2-3x+2=0` `(a=1; b=-3; c=2)`
Ta có: `a+b+c=1-3+2=0`
`=> x_1=1; x_2=c/a=2`
`b)`
Xét phương trình `(1)` `(a=1; b=-2(m+1); c=4m)`
Ta có: `Δ=b^2-4ac`
`=[-2(m+1)]^2 - 4.1.4m`
`=4(m+1)^2 - 16m`
`=4(m^2+2m+1) - 16m`
`=4m^2+8m+4-16m`
`=4m^2-8m+4`
`=(2m-2)^2`
Để phương trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt
thì `Δ>0`
hay `(2m-2)^2>0`
`=> 2m-2 \ne 0`
`=> 2m \ne 2`
`=> m \ne 1`
Với `m \ne 1` phương trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt `x_1; x_2`
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
$\begin{cases} x_1+x_2=-b/a=2(m+1)=2m+2\\\\x_1x_2=c/a=4m \end{cases}$
Ta có: `(x_1)/(x_2) + (x_2)/(x_1)=5/2`
`<=> (x_1^2 + x_2^2)/(x_1x_2)=5/2`
`=> 2(x_1^2 + x_2^2) =5x_1x_2`
`<=> 2((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2)-5x_1x_2=0`
`<=> 2(x_1+x_2)^2 - 9x_1x_2=0`
`<=> 2(2m+2)^2 - 9.4m=0`
`<=> 8m^2 + 16m + 8 - 36m=0`
`<=> 8m^2 - 20m + 8 =0`
`<=> 2^2 - 5m + 2 = 0`
Giải ta được: $\begin{cases} m_1=2 (tm)\\\\m_2=\frac{1}{2} (tm)\end{cases}$
`2)`
Gọi `x` (km/h) là vận tốc của ca nô khi nước yên lặng `(x>2)`
vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: `x+2` (km/h)
vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: `x-2` (km/h)
Thời gian ca nô xuôi dòng là: `42/(x+2)` (giờ)
Thời gian ca nô ngược dòng là: `20/(x-2)` (giờ)
Theo đề ta có phương trình:
`42/(x+2) + 20/(x-2)=5`
`<=> (42x - 84 + 20x + 40)/((x+2)(x-2))=5`
`<=> (62x - 44)/(x^2 - 4)=5`
`=> 62x - 44 = 5x^2 - 20`
`<=> 5x^2 - 62x + 24=0`
Giải phương trình ta được: $\begin{cases} x_1=12 (tm)\\\\x_2=\frac{2}{5} (ktm) \end{cases}$
Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là `12` km/h
