Gọi số sản phẩm tổ một sản xuất được trong tháng thứ nhất là $x \ (\text{sản phẩm})$
Số sản phẩm tổ hai sản xuất được trong tháng thứ nhất là $y \ (\text{sản phẩm})$

$(x;y \in N; \ 0<x;y<1000)$

$\to x+y=1000 \ \ (1)$
Vì cãi tiến kĩ thuật tổ một vượt mức $20\%$, tổ hai vượt mức $15\%$ nên hai tổ sản xuất được $1170$ sản phẩm

$\to \dfrac{120}{100}x+\dfrac{115}{100}y=1170$
$\to \dfrac{6}{5}x+\dfrac{23}{20}y=1170 \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}x+y=1000\\\dfrac65 x+\dfrac{23}{20}y=1170\end{cases}↔\begin{cases}x=400\\y=600\end{cases} \ (\text{thỏa mãn})$

Tháng thứ hai, tổ một sản xuất được số sản phẩm là:

$400.120\%=480 \ (\text{sản phẩm})$ 

Tháng thứ hai, tổ hai sản xuất được số sản phẩm là:

$600.115\%=690 \ (\text{sản phẩm})$
Vậy tháng thứ hai, tổ một sản xuất được $480$ sản phẩm, tổ hai sản xuất được $690$ sản phẩm.

Giải thích các bước giải:

                      Đổi $20\%=\dfrac{1}{5};15\%=\dfrac{3}{20}$

Gọi số sản phẩm đội thứ nhất sản xuất được trong tháng thứ nhất là $x$(sản phẩm)

Gọi số sản phẩm đội thứ hai sản xuất được trong tháng thứ nhất là $y$(sản phẩm)

             $(x;y∈\mathbb{N^*})$ 

Vì tháng thứ nhất cả hai đội sản xuất được $1000$ sản phẩm nên $x+y=1000_{(1)}$

Vì tháng thứ hai đội thứ nhất sản xuất vượt mức $20\%$ nên sản phẩm của đội thứ nhất là: $x+\dfrac{1}{5}x=\dfrac{6}{5}x$(sản phẩm)

Vì tháng thứ hai đội thứ hai sản xuất vượt mức $15\%$ nên sản phẩm của đội thứ nhất là: $y+\dfrac{3}{20}y=\dfrac{23}{20}y$(sản phẩm)

Vì tháng hai cả hai tổ sản xuất được $1170$ sản phẩm nên: $\dfrac{6}{5}x+\dfrac{20}{3}y=1170_{(2)}$

Từ $(1);(2)$ ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x+y=1000\\\dfrac{6}{5}x+\dfrac{23}{20}y=1170\end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l}x=1000-y\\\dfrac{6}{5}(1000-y)+\dfrac{23}{20}=1170\end{array} \right.$
$⇔\left\{ \begin{array}{l}x=1000-y\\1200-\dfrac{6}{5}y+\dfrac{23}{20}y=1170\end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l}x=1000-y\\-\dfrac{1}{20}y=-30\end{array} \right.$
$⇔\left\{ \begin{array}{l}y=600\\x=1000-600\end{array} \right. ⇔\left\{ \begin{array}{l}x=400_{(tm)}\\y=600_{(tm)}\end{array} \right.$ 

Tháng thứ hai mỗi tổ sản xuất được số sản phẩm là:

$\left\{ \begin{array}{l}x=400\\y=600\end{array} \right.⇒\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{6}{5}x=\dfrac{6}{5}.400=480\\y=1170-480=690\end{array} \right.$

Vậy tháng thứ hai đội thứ nhất sản xuất được $480$ sản phẩm

                                Đội thứ hai sản xuất được $690$ sản phẩm