Nhận xét: A, B nằm cùng phía đối với (P).
Gọi A’ là điểm đối xứng A qua (P)
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P)
\( \Rightarrow d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 - 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\)
Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\), suy ra tọa độ điểm H là nghiệm của hệ :
\(\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 - 2t\\z = 3 + t\\x - 2y + z - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t + 4 + 4t + 3 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
\( \Rightarrow H\left( { - 1;0;2} \right)\) là trung điểm của AA’
\( \Rightarrow A'\left( { - 2;2;1} \right)\).
Ta có \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\).
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và (P).
Ta có \(\overrightarrow {A'B} = \left( {4; - 2;0} \right)//\left( {2; - 1;0} \right)\).
\( \Rightarrow PT\,\,A'B:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = 2 - t\\z = 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}M \in A'B \Rightarrow M\left( { - 2 + 2t;2 - t;1} \right)\\M \in \left( P \right) \Rightarrow - 2 + 2t - 4 + 2t + 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow 4t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}\\ \Rightarrow M\left( {1;\frac{1}{2};1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = \frac{1}{2}\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1 + \frac{1}{4} + 1 = \frac{9}{4}\end{array}\)
