Đáp án:
\[{A_{\max }} = \sqrt {14} \]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\forall x,y\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0,\,\,\,\,\forall x,y\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy,\,\,\,\,\forall x,y\\
\Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {x^2} + {y^2} + 2xy,\,\,\,\,\forall x,y\\
\Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {x + y} \right)^2},\,\,\,\,\forall x,y
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(x = y\)
Áp dụng bất đẳng thức trên vào bài toán ta được:
\(\begin{array}{l}
A = \sqrt {x + 2} + \sqrt {y - 5} \\
\Rightarrow {A^2} = {\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {y - 5} } \right)^2} \le 2.\left( {\left( {x + 2} \right) + \left( {y - 5} \right)} \right) = 2\left( {x + y - 3} \right) = 2.\left( {10 - 3} \right) = 14\\
\Rightarrow A \le \sqrt {14}
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 = y - 5\\
x + y = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{3}{2}\\
y = \frac{{17}}{2}
\end{array} \right.\)
Vậy \({A_{\max }} = \sqrt {14} \)
