Đáp án:
$D$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ thì $\dfrac{AB}{DK}+\dfrac{AC}{DN}$ nhỏ nhất
Giải thích các bước giải:
c/ Xét $ΔABD$ và $ΔCED$
Có: $\widehat{ADB}=\widehat{CDE}$ (giả thiết)
$\widehat{BAD}=\widehat{ECD}$ (cùng chắn cung $BD$)
$⇒ ΔABD \backsim ΔCED$
$⇒ \dfrac{S_{ABD}}{S_{CED}}=\dfrac{AB^2}{EC^2}$
Mà $\dfrac{S_{ABD}}{S_{CED}}=\dfrac{AB.DK}{EC.DM}$
nên $\dfrac{AB^2}{EC^2}=\dfrac{AB.DK}{EC.DM}$
$⇒ \dfrac{AB}{EC}=\dfrac{DK}{DM}$
$⇒ \dfrac{AB}{DK}=\dfrac{EC}{DM}$ $(1)$
Có: $\widehat{BDE}=\widehat{ADB}+\widehat{ADE}$
$=\widehat{CDE}+\widehat{ADE}$
$=\widehat{ADC}$
Xét $ΔBDE$ và $ΔADC$
Có: $\widehat{BDE}=\widehat{ADC}$
$\widehat{EBD}=\widehat{CAD}$ (cùng chắn cung $CD$)
$⇒ ΔBDE \backsim ΔADC$
$⇒ \dfrac{S_{BDE}}{S_{ADC}}=\dfrac{BE^2}{AC^2}$
$⇒ \dfrac{DM.BE}{DN.AC}=\dfrac{BE^2}{AC^2}$
$⇒ \dfrac{DM}{DN}=\dfrac{BE}{AC}$
Hay $\dfrac{AC}{DN}=\dfrac{BE}{DM}$ $(2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra:
$\dfrac{AB}{DK}+\dfrac{AC}{DN}=\dfrac{CE}{DM}+\dfrac{BE}{DM}=\dfrac{BC}{DM}$
Để $\dfrac{AB}{DK}+\dfrac{AC}{DN}$ nhỏ nhất
thì $DM$ lớn nhất (do $BC$ không đổi)
$⇒ D$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ thì $\dfrac{AB}{DK}+\dfrac{AC}{DN}$ nhỏ nhất
