Bài `3`:

`1)`

`a)`

Xét `Delta AMH` vuông tại `H` và `Delta AMK` vuông tại `K` có:

`AM` là cạnh chung

`hat A_1 = hat A_2`(`AM` là tia phân giác của `hat {HAC}`)

`=> Delta AMH = Delta AMK(ch-gn)`

`=>` \(\left\{\begin{matrix}\hat M_1 = \hat M_2(2 góc tương ứng)\\AH = AK(2 cạnh tương ứng)\end{matrix}\right.\)

Vì `AB bot AC(g t), MK bot AC(g t)`

`=> AB` // `MK`

`=> hat {BAM} = hat M_2`(`2` góc so le trong) mà `hat M_1 = hat M_2(cmt)`

`=> hat {BAM} = hat M_1`

`=> Delta ABM` cân tại `B`

`=> BA = BM`

`b)`

Vì `CH` và `IK` là `2` đường cao của `Delta AIC(CH bot AI, IK bot AC)` mà `CH cap IK = {M}`

`=> M` là trực tâm `Delta AIC`

`=> AM bot CI(1)`

 Vì `AH = AK(cmt)` và `MH = MK(`Delta AMH = Delta AMK)`

`=> AM` là đường trung trực của `KH`

`=> AM bot KH(2)`

Từ `(1)` và `(2) => KH` // `CI`

`2)`

`CA` là cạnh lớn nhất trong `Delta ABC`

`=> CA > BC`

`=> b > 17(1)`

Áp dụng `BĐT Delta` cho `Delta ABC`, ta được:

`AB + BC > CA`

`=> 5 + 17 > b`

`=> 22 > b(2)`

Từ `(1)` và `(2) => 17 < b < 22`

`=> b in {18; 19; 20; 21}`

Vậy `b in {18; 19; 20; 21}`

Đáp án:

$\bullet$ `1`

`a,`

Xét `ΔAHM` và `ΔAKM` có :

`hat{AHM}= hat{AKM} = 90^o`

`AM` chung

`hat{HAM} = hat{KAM}` (giả thiết)

`-> ΔAHM = ΔAKM` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> AH = AK` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB⊥AC\\MK⊥AC\end{array} \right.\)

$→AB//MK$

`-> hat{BAM} = hat{AMK}` (2 góc so le trong)

mà `hat{BMA} = hat{AMK}` (Do `ΔAHM = ΔAKM`)

`-> hat{BAM} = hat{BMA} (= hat{AMK})`

`-> ΔABM` cân tại `B`

`-> BA = BM`

$\\$

$\\$

$b,$

Xét `ΔAIC` có :

`CH` là đường cao (Do `CH⊥AI`)

`IK` là đường cao (Do `IK⊥AC`)

`CH` cắt `IK` tại `M`

`-> M` là trực tâm của `ΔAIC`

`-> AM` là đường cao

`-> AM⊥CI`

$\\$

Có : `AH = AK` (chứng minh trên)

`-> A` nằm trên đường trung trực của `HK` `(1)`

Vì `ΔAHM = ΔAKM` (chứng minh trên)

`-> HM = KM` (2 cạnh tương ứng)

`-> M` nằm trên đường trung trực của `HK` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> AM` là đường trung trực của `KH`

`-> AM⊥KH`

mà `AH ⊥ CI`

$→ KH//CI$

__________________________________________________________________

$\bullet$ `2`

Xét `ΔABC` có :

`CA` là cạnh lớn nhất

`-> CA > BC`

hay `b > 17` `(1)`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔABC` có :

`AB + BC > CA`

`-> 5 + 17 > b`

`-> 22 > b` `(2)`

$\\$

Từ `(1), (2)`

`-> 17 < b < 22`

`-> b ∈ {18;19;20;21} (cm)`

Vậy `b ∈ {18;19;20;21} (cm)`