Câu 5: 

$5x - 2\sqrt {x}(2 + y) + y^{2} + 1 = 0$

+ ĐK: $x ≥ 0$

$⇔ 5x - 4\sqrt {x} - 2\sqrt {x}.y + y^{2} + 1 = 0$

$⇔ x - 2\sqrt {x}.y + y^{2} + 4x - 4\sqrt {x} + 1 = 0$

$⇔ (\sqrt {x} - y)^{2} + (2\sqrt {x})^{2} - 2.2\sqrt {x} . 1 + 1 = 0$

$⇔ (\sqrt {x} - y)^{2} + (2\sqrt {x} - 1)^{2} = 0$ (Vì $\left \{ {{(\sqrt {x} - y)^{2} ≥ 0} \atop {(2\sqrt {x} - y)^{2} ≥ 0}} \right.$).

$⇔ \left \{ {{\sqrt {x} - y = 0} \atop {2\sqrt {x} - 1 = 0}} \right.$ $⇔ \left \{ {{\sqrt {x} = y} \atop {\sqrt {x} = \dfrac {1}{2}}} \right.$ 

$⇔ \left \{ {{x = \dfrac {1}{4}} \atop {y = \dfrac {1}{2}}} \right.$.

Câu 3: 

$1.$

$f(n) = n(n^{4} - 5n^{2} + 4)$

$= n(n^{4} - n^{2} - 4n^{2} + 4)$

$= n(n^{2} - 1)(n^{2} - 4)$

$= n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2)$.

$2.$

+ $f(n)$ là 5 số nguyên liên tiếp. Trong 5 số đó chắc chắn có một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 5 $⇒ f(n) \vdots 3; f(n) \vdots 5 ⇒ f(n) \vdots 15$ (vì (3;5) = 1).        $(1)$

+ Mặt khác, trong 5 số đó có ít nhất hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 2, còn hai số kia chia hết cho 4 nên tích hai số này chia hết cho 8 $⇒ f(n) \vdots 2.4 = 8$.                     $(2)$

+ Vì $+8; 15) = 1$ nên từ $(1)$ và $(2) ⇒ f(n) \vdots 8.15$.

+ Hay: $f(n) \vdots 120$ (đpcm).

Câu 3: 

$a.$

+ Nếu n là số chẵn thì $n^{4} + 4^{n}$ là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số.

+ Nếu n là số lẽ đặt $n = 2k + 1$ với k là số tự nhiên lớn hơn 0: 

$n^{4} + 4^{2k + 1} = (n^{2})^{2} + (2.4^{k})^{2}$

$= (n^{2})^{2} + 2.n^{2}.2.4^{k} + (2.4^{k})^{2} - 2.n^{2}.2.4^{k}$

$= (n^{2} + 2.4^{k})^{2} - (2n.2^{k})^{2}$

$= (n^{2} + 2.4^{k} - 2n.2^{k}).(n^{2} + 2.4^{k} + 2n.2^{k})$.

+ Vì: $n^{2} + 2.4^{k} + 2n.2^{k} > n^{2} + 2.4^{k} - 2n.2^{k}$

$= n^{2} + 4^{k} - 2n.2^{k} + 4^{k}$

$= (n - 2^{k})^{2} + 4^{k} > 4$.

+ Suy ra: $n^{4} + 4^{2k + 1}$ là hợp số.

+ Vậy: $n^{4} + 4^{n}$ là hợp số với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1.

$2.$

$2^{x} + 1 = y^{2}$

$⇔ 2^{x} = y^{2} - 1 = (y + 1)(y - 1)$ và y lẻ.

$⇒ \left \{ {{y + 1 = 2^{m}} \atop {y - 1 = 2^{n}}} \right.$ với $m + n = x$ và $m > n$.

+ Ta có: $2y = 2^{m} + ^{n} = 2^{n}(2^{m - n} + 1)$.

+ Do y lẻ nên suy ra $\left \{ {{2^{n} = 2} \atop {y = 2^{n} + 1}} \right.$ $⇔ \left \{ {{n = 1} \atop {y = 3}} \right.$ 

$⇒ \left \{ {{m = 1} \atop {x = y = 3}} \right.$.