Lời giải chi tiết:
a, - Xét `ΔAEC` và `ΔAEK`, ta có:
`AE`: cạnh chung.
`\hat{A1} = \hat{A2}` (gt).
`\hat{ACE} = \hat{AKE} = 90^0` `(AC ⊥ BC ; EK ⊥ AB)`.
`⇒ ΔAEC = ΔAEK` (cạnh huyền - góc nhọn).
`⇒ AC = AK` (2 cạnh tương ứng).
- Gọi `G` là giao điểm của `AE` và `CK`.
Xét `ΔAGC` và `ΔAGK`, ta có:
`AG`: cạnh chung.
`\hat{A1} = \hat{A2}` (gt).
`AC = AK` (cmt).
`⇒ ΔAGC = ΔAGK` `(c-g-c)`.
`⇒ \hat{AGC} = \hat{AGK}` (2 góc tương ứng).
Mà 2 góc này kề bù `⇒ \hat{AGC} = \hat{AGK} = (180^0)/2 = 90^0`
`⇒ AG ⊥ CK` hay `AE ⊥ CK`.
b, - Vì `ΔACB` vuông tại `C` (gt) `⇒ \hat{A} + \hat{CBA} = 90^0`
Mà `\hat{A} = 60^0` (gt) `⇒ \hat{CBA} = 90^0 - 60^0 = 30^0`
`⇒ \hat{KBE} = 30^0`.
- Vì `ΔKEB` vuông tại `K` (gt) `⇒ \hat{KBE} + \hat{KEB} = 90^0`
Mà `\hat{KBE} = 30^0` (cmt) `⇒ \hat{KEB} = 90^0 - 30^0 = 60^0`
Vậy `\hat{KEB} = 60^0`.
c, - Xét `ΔAKF` và `ΔACB`, ta có:
`\hat{FKA} = \hat{BCA} = 90^0` `(EK ⊥ AB ; BC ⊥ AC)`.
`AK = AC` (theo câu `a`).
`\hat{A}`: góc chung.
`⇒ ΔAKF = ΔACB` `(g-c-g)`.
`⇒ AF = AB` (2 cạnh tương ứng).
- Xét `ΔAEF` và `ΔAEB`, ta có:
`AE`: cạnh chung.
`\hat{A1} = \hat{A2}` (gt).
`AF = AB` (cmt).
`⇒ ΔAEF = ΔAEB` `(c-g-c)`.
`⇒ EF = EB` (2 cạnh tương ứng).
`⇒ ΔBEF` cân tại `E`.
