Giải thích các bước giải:
Câu 4:
a) Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ADB} = \widehat {CAB} = {90^0}\\
\widehat Bchung
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta DAB \sim \Delta ACB\left( {g.g} \right)
\end{array}$
b) Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta DAB \sim \Delta ACB\left( {g.g} \right)\\
\Rightarrow \dfrac{{DB}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{CB}}
\end{array}$
Mà $BE $ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$
$ \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}$
Như vậy nên:
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EC}} = \dfrac{{DB}}{{AB}}\left( { = \dfrac{{BA}}{{BC}}} \right)\\
\Rightarrow AB.AE = EC.BD
\end{array}$
c) Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {CBF} = \widehat {EBA}\\
\widehat {CFB} = \widehat {EAB} = {90^0}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta CFB \sim \Delta EAB\left( {g.g} \right)\\
\Rightarrow \widehat {BCF} = \widehat {BEA}\left( 1 \right)
\end{array}$
Lại có:
$\begin{array}{l}
\widehat {HFC} = \widehat {HEF}\left( { + \widehat {HCF} = {{90}^0}} \right)\\
\Rightarrow \widehat {HFC} = \widehat {BEA}\left( 2 \right)\left( {\widehat {HEF} = \widehat {BEA}\left( {dd} \right)} \right)
\end{array}$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {BCF} = \widehat {HFC}$
d) Ta có:
$I$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$ của $\Delta BCF$
$\to IF=IC$
$\to \Delta ICF$ cân ở $I$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {IFC} = \widehat {ICF}\\
\Rightarrow \widehat {IFC} = \widehat {BCF}\\
\Rightarrow \widehat {IFC} = \widehat {HFC}\\
\Rightarrow I \in HF
\end{array}$
$\to F,H,I$ thẳng hàng
Câu 5:
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left( {a + \dfrac{b}{{ac}}} \right)\left( {b + \dfrac{c}{{ab}}} \right)\left( {c + \dfrac{a}{{bc}}} \right)\\
\ge 2\sqrt {a.\dfrac{b}{{ac}}} .2\sqrt {b.\dfrac{c}{{ab}}} .2\sqrt {c.\dfrac{a}{{bc}}} \left( {BDT:Cauchy} \right)\\
= 8\sqrt {abc.\dfrac{{abc}}{{{{\left( {abc} \right)}^2}}}} \\
= 8
\end{array}$
Dấu bằng xảy ra
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{b}{{ac}}\\
b = \dfrac{c}{{ab}}\\
c = \dfrac{a}{{bc}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
abc = \dfrac{1}{{abc}}\\
a = {b^2}\\
b = {c^2}\\
c = {a^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
abc = 1\\
a = {b^2} = {c^4} = {a^8}
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1
\end{array}$
Vậy ta có điều phải chứng minh
