`a)` Có: $AB//EF(gt)$, mà $AB//CD(gt)⇒AB//EF//CD.$
Xét `∆ACD` và `∆BCD` có:
- Chung đáy `CD`
- Chiều cao hạ từ `A` xuống (vuông góc) với `BC` bằng chiều cao hạ từ `B` xuống (vuông góc) với `BC`
`⇒S_{ACD}=S_{BCD}`
`⇔S_{ACD}-S_{COD}=S_{BCD}-S_{COD}`
`⇔S_{AOD}=S_{BOC}`
Vậy `S_{AOD}=S_{BOC}` $(dpcm).$
`b)∆ACD` có $OE//CD$ (vì $EF//CD,O∈EF$)
`⇒\frac{OE}{CD}=\frac{OA}{AC}` (định lý $Ta-let$)
`∆CBD` có $OF//CD$ (vì $EF//CD,O∈EF$)
`⇒\frac{OF}{CD}=\frac{OB}{BD}` (định lý $Ta-let$)
`∆ABD` có $OE//AB$ (vì $EF//AB,O∈EF$)
`⇒\frac{OE}{AB}=\frac{OD}{BD}` (định lý $Ta-let$)
`∆ABC` có $OF//AB$ (vì $EF//AB,O∈EF$)
`⇒\frac{OF}{AB}=\frac{OC}{AC}` (định lý $Ta-let$)
Ta cộng tổng:
`\frac{OE}{CD}+\frac{OF}{CD}+\frac{OE}{AB}+\frac{OF}{AB}=\frac{OA}{AC}+\frac{OB}{BD}+\frac{OD}{BD}+\frac{OC}{AC}`
`⇔(\frac{OE}{CD}+\frac{OE}{AB})+(\frac{OF}{CD}+\frac{OF}{AB})=(\frac{OA}{AC}+\frac{OC}{AC})+(\frac{OB}{BD}+\frac{OD}{BD})`
`⇔OE.(\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB})+OF.(\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB})=\frac{AC}{AC}+\frac{BD}{BD}`
`⇔(\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB})(OE+OF)=1+1`
`⇔(\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB}).EF=2`
`⇒\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB}=2/{EF}.`
Vậy `\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB}=2/{EF}.`
`c)` Từ `E` ta kẻ trung tuyến `EG` của `∆DEF`, vẽ đường cao hạ `AH` `(AH∩DF=H)`
Ta xét `∆EGF` và `∆EGD` có:
- Chung đường cao `AH` hạ từ đỉnh `A`
- Đáy `DG=GF` (vì có trung tuyến `EG` của `∆DEF` `⇔``G` là trung điểm của `DF`)
`⇒S_{EGF}=S_{EGD}.`
- Nối `KG`. Từ `E` kẻ đường thẳng $EI//KG(I∈DF)$. Gọi `L` là giao điểm của `IK` và `EG`.
Ta xét `∆KEI` và `∆GEI` có:
- Chung chiều cao hạ từ `K` và `G` xuống đáy `EI`
- Chung đáy `EI.`
`⇒S_{KEI}=S_{GEI}`
`⇔S_{KEI}-S_{ELI}=S_{GEI}-S_{ELI}`
`⇒S_{ELK}=S_{GLI}`
Ta có:
`S_{EGF}=S_{EGD}.`
`⇒S_{EGF}-S_{GLI}+S_{ELK}=S_{EGD}+S_{GLI}-S_{ELK}`
`⇒S_{EKID}=S_{KIF}`
`⇒` Đường thẳng cần tìm là `IK.`
Hình tham khảo:
