Đáp án:
Bài 3 :
$c.$ GTNN $P = 2\sqrt[]{3}$ khi $x = 3$
Bài 4 :
$b.$ GTNN $P = 8$ khi $x = 16$
Giải thích các bước giải:
Bài 3 :
$c. P = \frac{x+3}{\sqrt[]{x}}$ $( x ≥ 0 , x \ne 4 )$
$P = \sqrt[]{x} + \frac{3}{\sqrt[]{x}}$
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương :
$\sqrt[]{x} + \frac{3}{\sqrt[]{x}} ≥ 2\sqrt[]{\sqrt[]{x}.\frac{3}{\sqrt[]{x}}}$
⇔ $\sqrt[]{x} + \frac{3}{\sqrt[]{x}} ≥ 2\sqrt[]{3}$
hay $P ≥ 2\sqrt[]{3}$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $\sqrt[]{x} = \frac{3}{\sqrt[]{x}}$
⇔ $x = 3$ ( TM )
Bài 4 :
$b. P = \frac{x}{\sqrt[]{x}-2}$
Ta có : $x > 4 ⇒ \sqrt[]{x} > 2 ⇔ \sqrt[]{x} - 2 > 0$
Ta đi chứng minh : $\frac{x}{\sqrt[]{x}-2} ≥ 8$ với $∀ x > 4$
⇔ $x ≥ 8\sqrt[]{x} - 16$
⇔ $x - 8\sqrt[]{x} + 16 ≥ 0$
⇔ $( \sqrt[]{x} - 4 )^{2} ≥ 0$ luôn đúng với $∀ x > 4$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $\sqrt[]{x} - 4 = 0$
⇔ $\sqrt[]{x} = 4$
⇔ $x = 16$ (TM)
