Bài 6: ( Hình thứ nhất )
a) Giả sử tam giác đó là tam giác cân, ta được:
Từ cạnh `AB` ta tạo được hình vuông `DBAE => AB=AE`
Từ cạnh `AC` ta tạo được hình vuông `ACFG => GA=CA`
`=> AE=AC, AB=AG => EC=BG`
b) Vì do `EC=BG => E,A,C` thẳng hàng.
Khi đó ta có được `hat{A}=90^o`. Ta có:
Tứ giác `DBAE` là hình vuông và tứ giác `AEGH` là hình bình hành.
Và do tứ giác `DBAE` là hình vuông `=>hat{AED}=hat{AEH}=90^o`
Mà hình bình hành có cạnh đối bằng nhau, góc đối bằng nhau, cạnh đôi song song.
Mặt khác ta có `AEGH` là hình vuông, `=>hat{EAH}=hat{EHA}=45^o` (`=hat{AEH} /2 =90^o/2=45^o`).
Xét `Delta EAH` và `Delta BAC` có:
`AB=AE` (giả thiết)
`AC=EH` (`CAGF` hình vuông, `AGHE` hình vuông. Cạnh đối)
`hat{BAC}=hat{AEH}=90^o`
`=>Delta EAH = Delta BAC ` (2 cạnh góc vuông.)
Vì `hat{AEG}=hat{BAC}` (Do `Delta EAH = Delta BAC `)
Mà hình vuông `EAGH` có đường chéo `HA => 1/2 hat{EAG}=90^o/2=45^o`
Tương tự vậy, `1/2 hat{BAC} = 90^o/2=45^o`
Lấy `1/2 hat{ABC}+hat{ABC}=45^o + 45^o=90^o => AH bot BC`
c) Gọi `AH∪CD∪BF≡{J}`
Vì `Delta ABC` cân (giả thiết), mà `CD=CF =>DC ∪BF` (Hiển nhiên)
Mà hai đường này là nằm trên đường cao của `Delta BAC`
`=> AH,CD,BF` đồng quy tại `J`
$\quad$
Bài 7: (Hình thứ 2)
a) Vì `ABCD` là hình vuông, có cạnh đối song song với nhau là $AD//BC,AB//DC$
`=>hat{HAK}=180^o - hat{BAD}=180^o-90^o = 90^o`
Do `KF bot AK => hat{FAK}=90^o =>` $FK//AH$
Lại do ` FH bot AB => hat{FHA}=90^o, hat{ABC}=90^o =>`$FH//BC$.
Tứ giác `KFHA` có `3` góc là góc vuông nên `KFHA` là hình vuông.
b) Hình chữ nhật `KAHF` có cạnh `AH in AB` và có đường chéo `AF` (1)
Hình chữ nhật `ABCD` có đường chéo `BD` (2)
Từ (1) và (2) `=>` $AF//BD$ (Có thể chứng minh tính chất này bằng tam giác đồng dạng)
Phần này sẽ chứng minh bằng tam giác đồng dạng:
Xét `Delta HKA` và `Delta CAD`:
`hat{KAH}=hat{ADC}=90^o`
`hat{HKA}=hat{CAD` ($KF//AH$)
`=>` $\Delta HKA \backsim \Delta CAD (g.g)$
`=>hat{KHA}=hat{DCA}` (Góc tương ứng)
c) Vì $KH// AC$
`=> K,H,E` thẳng hàng
