Ta có
$P(x) = x^4 + ax^2 + bx + c$
$= x^4 - x^3 + x^3 - x^2 + (a+1)x^2 - (a+1)x + (b + a+1)x - (b+a+1) + c + b + a + 1$
$= x^3(x-1) + x^2(x-1) + (a+1)x(x-1) + (b+a+1)(x-1) + a + b + c + 1$
$= (x-1)[x^3 + x^2 + (a+1)x + b + a + 1] + a + b + c + 1$
$= (x-1).Q(x) + a + b + c + 1$
Do $P(x)$ chia hết cho $(x-1)^3$ nên nó phải chia hết cho $x-1$, do đó phép phân tích trên phải ko có số dư, suy ra
$a + b + c +1 = 0$
Tiếp theo, do $P(x)$ chia hết cho $(x-1)^3$ nên $Q(x)$ phải tiếp tục chia hết cho $x-1$, suy ra
$Q(x) = x^3 + x^2 + (a+1)x + b + a + 1$
$= x^3 - x^2 + 2x^2 - 2x + (a + 3)x - (a+ 3) + b + 2a +4$
$= x^2(x-1) + 2x(x-1) + (a+3)(x-1) + b + 2a + 4$
$= (x-1)(x^2 + 2x + a + 3) + 2a + b + 4$
$= (x-1).R(x) + 2a + b + 4$
Do $Q(x)$ chia hết cho $x-1$ nên phép phân tích trên phải ko có số dư, suy ra
$2a + b + 4 = 0$
Do $P(x)$ chia hết cho $(x-1)^3$ nên $R(x)$ phải chia hết cho $x-1$. Ta có
$R(x) = x^2 + 2x + a + 3$
$= x^2 - x + 3x - 3 + a + 6$
$= x(x-1) + 3(x-1) + a + 6$
$=(x-1)(x+3) + a + 6$
Suy ra
$a + 6 = 0$
$<-> a = -6$
Từ đó, thay vào trên ta có $b = 8$ và $c = -3$.
Đa thức cần tìm là
$P(x) = x^4 - 6x^2 + 8x - 3$
