$1)$ Xét tứ giác $BCDE$ có:
$\begin{array}{l} \widehat {BDC} = {90^0}\left( {gt} \right)\\ \widehat {BEC} = {90^0}\left( {gt} \right) \end{array}$
$ \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {BEC} = {90^0}$ (cùng nhìn cạnh $BC$)
Vậy tứ giác $BCDE$ nội tiếp.
$2)$ Ta có: $\widehat {ACM} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Lại có: Tứ giác $BCDE$ nội tiếp $(cmt)$ $ \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {ACB}$ (cùng bù $\widehat {BED}$)
Xét $(O):$ $\widehat {BAM} = \widehat {BCM}$ (góc nội tiếp)
$\Rightarrow \widehat {AED} + \widehat {BAM} = \widehat {ACB} + \widehat {BCM} = \widehat {ACM} = {90^0}$ hay $OA \bot DE$
$3)$ Ta có:$MC \bot AC;BC \bot AC \Rightarrow MC||BD$ hay $MC||BH$
CMTT: $MB//CH \Rightarrow$ tứ giác $BHCM$ là hình bình hành.
Ta có: $KB=KC$ ($K$ là trung điểm $BC$); $KH=KM$ ($K$ là trung điểm $HM$)
$\Rightarrow OK$ là đường trung bình $\Delta AHM \Rightarrow AH=2OK$
Xét tứ giác $AEHD$ có:$\widehat {ADH} = {90^0};\widehat {AEH} = {90^0} \Rightarrow \widehat {ADH} + \widehat {AEH} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$
$\Rightarrow$ Tứ giác $AEHD$ nội tiếp.
Lại có: $AH$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHD$; đồng thời là đường kình đường tròn ngoại tiếp $\Delta AED$ $\Rightarrow$ đpcm
