TH1:n=0 ⇒ A=2019 không là số chính phương
TH2: $n\geq1\ \Rightarrow 2^{n}\ chẵn\ \Rightarrow 2^{2^{n}}\ là\ số\ chính\ phương$
Ta chứng minh số dư khi chia số chính phương $a^{2}$ bất kì cho 3 là 0 hoặc 1 (1)
Nếu a=3k(k∈N) ⇒ $a^{2}\vdots 3$
Nếu a=3k+1(k∈N) ⇒ $a^{2}=(3k+1)^{2}=9k^{2}+6k+1 \ chia \ 3 \ dư \ 1$
Nếu a=3k+2(k∈N) ⇒ $a^{2}=(3k+2)^{2}=9k^{2}+12k+4 \ chia \ 3 \ dư \ 1$
Vậy (1) đúng
Do đó: Vì $2^{2^{n}}$ là số chính phương và $2^{2^{n}}$ không chia hết cho 3
nên $2^{2^{n}}$ chia 3 dư 1
Mà 2017 chia 3 dư 1
Suy ra: A= $2^{2^{n}}$ +2017 chia 3 dư 2
⇒ A không là 1 số chính phương
