Đáp án:
$a/$
Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :
`hat{AHB} = hat{AHC} = 90^o`
`AB = AC` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)
`AH` chung
`-> ΔAHB = ΔAHC` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
`-> BH = HC` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
$\\$
$b/$
Ta có : `BH = HC` (chứng minh trên)
`-> H` là trung điểm của `BC`
`-> BH = 1/2 BC = 1/2 . 6 = 3cm`
Xét `ΔAHB` vuông tại `H` có :
`AH^2 = AB^2 - BH^2` (Pitago)
`-> AH^2=5^2 - 3^2`
`-> AH^2 = 4^2`
`-> AH = 4cm`
$\\$
$\\$
$c/$
Vì `G` là tâm của `ΔABC`
`-> AG = 2/3 AH, GH = 1/3AH`
mà `AG = GD`
`⇔ GD = 2/3AH`
Lại có : `GD = GH + HD`
mà `GH = 1/3AH`
`⇔ HD = 1/3AH`
`-> GH = HD = 1/3 AH`
Xét `ΔGHC` và `ΔDHB` có :
`hat{GHC} = hat{DHB} = 90^o`
`BH = HC` (chứng minh trên)
`GH = HD` (_________________)
`-> ΔGHC = ΔDHB` (cạnh - góc - cạnh)
`-> BD = CG` (2 cạnh tương ứng)
mà `CG = 2/3 CF` (Vì `G` là trọng tâm của `ΔABC`)
`-> BD = 2/3CF`
