`3,` Với mọi số tự nhiên khác `0,` luôn có `2` dạng`:` `2k;2k+1` $(k∈N^*)$
`TH1:n=2k`
`⇒n+2=2k+2`
`⇒n+2⋮2`
`⇒(n+2)(n+3)⋮2` `(1)`
`TH2:n=2k+1`
`⇒n+3=2k+4`
`⇒n+3⋮2`
`⇒(n+2)(n+3)⋮2` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)⇒(n+2)(n+3)⋮2` với $∀x∈N^*$ `(đpcm)`
`4,` `10^2021=1\underbrace{000...0}_{\text{2021 số 0}}`
`2^3=8`
`⇒10^2021+2^3=1\underbrace{000...0}_{\text{2022 số 0}}8`
`⇒` Tổng của các chữ số trong `1\underbrace{000...0}_{\text{2022 số 0}}8` `:`
`1+0+0+0+...+0+8=9⋮9`
`⇒1\underbrace{000...0}_{\text{2022 số 0}}8⋮9`
`⇒a∈N` `(đpcm)`
`5,` Đặt `d=ƯC(n+2;2n+3)`
$⇒\begin{cases}n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}$
$⇒\begin{cases}2.(n+2)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}$
$⇒\begin{cases}2n+4⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}$
`⇒(2n+4)-(2n+3)⋮d`
`⇒2n+4-2n-3⋮d`
`⇒(2n-2n)+(4-3)⋮d`
`⇒1⋮d`
`⇒d=1`
`⇒n+2` và `2n+3` luôn nguyên tố cùng nhau với `∀n∈N` `(đpcm)`
