Ta đặt
$S(n) = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Lại có
$2^2 + 4^2 + 6^2 + \cdots + (2n)^2 = 4(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2) = \dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$
Mặt khác, ta lại có
$S(2n) = 1^2 + 2^2 + \cdots + (2n)^2$
$= [1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^2] + [2^2 + 4^2 + \cdots + (2n)^2]$
$= [1^2 +3^2 + \cdots + (2n-1)^2] + \dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$
Áp dụng theo công thức ta có
$S(2n) = \dfrac{2n(2n+1)(4n + 1)}{6} = \dfrac{n(2n+1)(4n+1)}{3}$
Vậy ta có
$\dfrac{n(2n+1)(4n+1)}{3} = [1^2 +3^2 + \cdots + (2n-1)^2] + \dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$
$\Leftrightarrow 1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \dfrac{n(2n+1)(4n+1) - 2n(n+1)(2n+1)}{3}$
Vậy ta cần tính giới hạn của
$u_n = \dfrac{\frac{n(2n+1)(4n+1) - 2n(n+1)(2n+1)}{3}}{ \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}}$
$= \dfrac{n(2n+1)(4n+1) - 2n(n+1)(2n+1)}{2n(n+1)(2n+1)}$
Ta có
$\lim u_n = \lim \dfrac{n(2n+1)(4n+1) - 2n(n+1)(2n+1)}{2n(n+1)(2n+1)}$
$= \lim \dfrac{8n^3 + 6n^2 + n - (4n^3 + 6n^2 + 2n)}{4n^3 + 6n^2 + 2n}$
$= \lim \dfrac{4n^2 -1}{4n^2 + 6n + 2}$
$= \lim \dfrac{4 - \frac{1}{n^2}}{4 + \frac{6}{n} + \frac{2}{n^2}}$
$= 1$
Vậy giới hạn trên bằng $1$.
