Giải thích các bước giải:
1.Ta có $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$
$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\to BCEEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
2.Ta có $\widehat{AFC}=\widehat{ADC}=90^\to AFDC$ nội tiếp
Từ câu 1 $\to \widehat{EFH}=\widehat{HAE}=\widehat{DAC}=\widehat{DFC}$
$\to FH$ là phân giác $\widehat{EFD}$
Tương tự $EH$ là phân giác $\widehat{FED}$
$\to E$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$
3.a. Xét $\Delta AEH,\Delta BCE$ có:
$\widehat{AEH}=\widehat{CEB}=90^o$
$\widehat{EAH}=90^o-\widehat{AHE}=90^o-\widehat{BHD}=\widehat{HBD}=\widehat{EBC}$
$\to\Delta EAH\sim\Delta EBC(g.g)$
$\to\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{EH}{EC}$
$\to EH.EB=EA.EC=12$
$\to EH(EH+HB)=12$
$\to EH(EH+4)=12$
$\to EH^2+4EH=12$
$\to EH^2+4EH+4=16$
$\to (EH+2)^2=16$
$\to EH+2=4$
$\to EH=2$
b.Từ 3a $\to BE=BH+HE=6$
$\to$Thể tích cần tìm là:
$V=\dfrac13\cdot CE\cdot \pi BE^2=48\pi$
4.a.Ta có $AK$ là đường kính của $(O)\to KC\perp AC, KB\perp AB$
$\to KC//BH, KB//CH$
$\to KBHC$ là hình bình hành
b.Xét $\Delta ABD,\Delta AKC$ có:
$\widehat{ADB}=\widehat{ACK}=90^o$
$\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AKC}$
$\to\Delta ABD\sim\Delta AKC(g.g)$
5.Gọi $AK\cap EF=A'$
Từ câu 4b và $BCEF$ nội tiếp $\to \widehat{AEA'}=\widehat{ABC}=\widehat{AKC}$
$\to \widehat{EAA'}+\widehat{AEA'}=\widehat{CAK}+\widehat{AKC}=90^o$
$\to\Delta AA'E$ vuông tại $A'$
$\to AK\perp EF$
6.Từ câu 4b
$\to \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AB}{AK}$
$\to AD=\dfrac{AB\cdot AC}{AK}$
$\to AD=\dfrac{c\cdot b}{2R}$
$\to S_{ABC}=\dfrac12AD\cdot BC$
$\to S_{ABC}=\dfrac12\cdot\dfrac{bc}{2R}\cdot a$
$\to S_{ABC}=\dfrac{abc}{4R}$
7a.Xét $\Delta AEF,\Delta ABC$ có:
Chung $\hat A$
$\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$ vì $BCEF$ nội tiếp
$\to \Delta AEF\sim\Delta ABC(g.g)$
$\to\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=(\dfrac{AE}{AB})^2=(\cos\hat A)^2=\dfrac14$
$\to\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}-S_{AEF}}=\dfrac1{4-1}$
$\to\dfrac{S_{AEF}}{S_{BCEF}}=\dfrac13$
$\to S_{AEF}=\dfrac13S_{BCEF}$
7b.Ta có $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$
$\to$ Bán kính là $R'=\dfrac12AH=3$
Ta có $\widehat{EIF}=2\widehat{EAF}=120^o$
$\to$Diện tích hình quạt tròn $IEF$ là:
$S=\dfrac{\widehat{EIF}}{360^o}\cdot \pi\cdot R'^2$
$\to S=3\pi$
8.Ta có $H'$ đối xứng qua $BC$
$\to \widehat{BH'C}=\widehat{BHC}=\widehat{EHF}=180^o-\widehat{EAH}=180^o-\widehat{BAC}$
$\to \widehat{BH'C}+\widehat{BAC}=180^o$
$\to ABH'C$ nội tiếp
$\to H'\in (ABC)$
$\to H'\in (O)$
9.Từ câu 8 do $H, H'$ đối xứng qua $BC$
Ký hiệu $R_{HBC},R_{H'BC}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta HBC, H'BC$
$\to R_{HBC}=R_{H'BC}$
$\to R_{HBC}=R_{AH'BC}$ vì $ABH'C$ nội tiếp
$\to R_{HBC}=R$ (R là bán kính của (O))
Tương tự chứng minh được $R_{HAB}=R_{HAC}=R$
$\to R_{HAB}=R_{HBC}=R_{HAC}(=R)$
10.a. Ta có $\Delta EBC$ vuông tại $E, M$ là trung điểm $BC$
$\to ME=MB=MC$
$\to \widehat{MEB}=\widehat{MBE}=\widehat{EBC}=\widehat{EFC}=\widehat{EFH}=\widehat{EAH}=\widehat{EAI}=\widehat{IEA}=90^o-\widehat{IEH}$
$\to\widehat{MEB}+\widehat{IEH}=90^o$
$\to\widehat{IEM}=90^o$
$\to EM$ là tiếp tuyến của $(I)$
$\to EM$ là tiếp tuyến của $(AEF)$
b.Ta có $BKCH$ là hình bình hành
$\to HK\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường
Do $M$ là trung điểm $BC\to M$ là trung điểm $HK$
Lại có $O$ là trung điểm $AK\to OM$ là đường trung bình $\Delta AHK\to AH=2OM$
c.Ta có $G$ là trọng tâm $\Delta ABC\to \dfrac{AG}{AM}=\dfrac23$
Mà $M$ là trung điểm $HK$
$\to G$ là trọng tâm $\Delta AHK$
Do $O$ là trung điểm $AK\to HG=\dfrac23HO$
$\to S_{AHG}=\dfrac23S_{AHO}$
11.Tương tự câu 10 $\to MF$ là tiếp tuyến của $(I)$
$\to \widehat{IEM}=\widehat{IFM}=\widehat{IDM}=90^o$
$\to I,E, M, D, F\in$ đường tròn đường kính $IM$
Ta có $I, M, N$ là trung điểm $AH, BC, CH$
$\to IN, MN$ là đường trung bình $\Delta AHC, \Delta HBC$
$\to IN//AC, MN//BH$
Mà $BH\perp AC\to IN\perp MN$
$\to \widehat{INM}=90^o\to N\in$ đường tròn đường kính $IM$
$\to N, I,E, M, D, F\in$ đường tròn đường kính $IM$
12.Ta có $OA\perp EF$
Tương tự chứng minh được $OB\perp FD, OC\perp ED$
$\to S_{ABC}=S_{OEAF}+S_{OFBD}+S_{ODCE}$
$\to S_{ABC}=\dfrac12AO\cdot EF+\dfrac12BO\cdot DF+\dfrac12CO\cdot DE$
$\to S_{ABC}=\dfrac12R\cdot (EF+DF+DE)$
$\to \dfrac12AD\cdot BC=\dfrac12R\cdot P_{DEF}$
$\to P_{DEF}=\dfrac{AD\cdot BC}{R}$
Ta có $AD\le AM\le AO+OM=R+OM$
$\to P_{DEF}\le \dfrac{R+OM}{R}$
Dấu = xảy ra khi $A$ nằm chính giữa cung $BC$
13.Ta có $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$
$\to S_{ABC}=\dfrac12r\cdot (AB+BC+CA)=\dfrac12r(a+b+c)$
Mặt khác ta có:
$S_{ABC}=\dfrac12AD\cdot BC=\dfrac12AC\cdot BE=\dfrac12AB\cdot CF$
$\to AD\cdot a=BE\cdot b=CF\cdot c=2S_{ABC}=r(a+b+c)$
$\to AD=\dfrac{r(a+b+c)}{a}, BE=\dfrac{r(a+b+c)}{b}, CF=\dfrac{r(a+b+c)}{c}$
$\to AD+BE+CF=\dfrac{r(a+b+c)}{a}+\dfrac{r(a+b+c)}{b}+\dfrac{r(a+b+c)}{c}$
$\to AD+BE+CF=r(a+b+c)(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c)\ge r(a+b+c)\cdot \dfrac9{a+b+c}=9r$
Dấu = xảy ra khi $a=b= c$
$\to\Delta ABC$ đều
14.Xét $\Delta PBF,\Delta PEC$ có:
Chung $\hat P$
$\widehat{PFB}=\widehat{PEC}$ vì $BCEF$ nội tiếp
$\to\Delta PBF\sim\Delta PEC(g.g)$
$\to\dfrac{PB}{PE}=\dfrac{PF}{PC}$
$\to PE.PF=PB.PC$
15a.Xét $\Delta PBQ,\Delta PAC$ có:
Chung $\hat P$
$\widehat{PBQ}=\widehat{PAC}$ vì $BCAQ$ nội tiếp $(O)$
$\to\Delta PBQ\sim\Delta PAC(g.g)$
$\to\dfrac{PB}{PA}=\dfrac{PQ}{PC}$
$\to PQ.PA=PB.PC$
$\to PQ.PA=PE.PF$
$\to \dfrac{PQ}{PE}=\dfrac{PF}{PA}$
Mà $\widehat{QPF}=\widehat{APE}$
$\to\Delta PQF\sim\Delta PEA(c.g.c)$
$\to \widehat{PFQ}=\widehat{PAE}$
$\to AQFE$ nội tiếp
b.Ta có $AQFE$nội tiếp
$\to Q\in (AEF)\to Q\in (I)\to AQ\perp QH$ vì $AH$ là đường kính của $(I)$
Ta có $AK$ là đường kính của $(O)\to AQ\perp QK$
$\to Q,H, K$ thẳng hàng
Mà $M, H, K$ thẳng hàng
$\to Q, H, M$ thẳng hàng