Đáp án:
`1,`
Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :
`AB^2 + AC^2 = BC^2` (Pitago)
`-> AC^2 = BC^2 - AB^2`
`-> AC^2 = 10^2 - 6^2`
`-> AC^2= 8^2`
`-> AC = 8cm`
$\\$
Áp dụng định lí Pitago cho `ΔABH` và `ΔACH` có :
\(\left\{ \begin{array}{l}AB^2 = AH^2 + BH^2\\ AC^2 = AH^2 + HC^2\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế ta được :
`-> AH^2 + BH^2 + AH^2 + HC^2 = AB^2 + AC^2`
`-> AH + BH + AH + HC = AB + AC`
`-> 2AH + 10 = 14`
`-> 2AH = 4`
`-> AH = 2cm`
$\\$
$\\$
$2,$
Xét `ΔABD` và `ΔEBD` có :
`hat{BAD} = hat{BED}=90^o` (giả thiết)
`hat{ABD} = hat{EBD}` (giả thiết)
`BD` chung
`-> ΔABD = ΔEBD` (cạnh huyền - góc nhọn)
$\\$
Vì `ΔABD = ΔEBD` (chứng minh trên)
`-> AB = EB` (2 cạnh tương ứng)
`-> B` nằm trên đường trung trực của `AE` `(1)`
Vì `ΔABD = ΔEBD` (chứng minh trên)
`-> AD = ED` (2 cạnh tương ứng)
`-> D` nằm trên đường trung trực của `AE` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)`
`-> BD` là đường trung trực của `AE`
$\\$
$\\$
$3,$
Xét `ΔDEC` vuông tại `E` có :
`DC` là cạnh lớn nhất
`-> DC > DE`
mà `AD = DE` (chứng minh trên)
`-> AD < DC`
$\\$
$\\$
$4,$
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}AH⊥BC\\DE⊥BC\end{array} \right.\)
$→ AH//DE$
`-> hat{AID} = hat{BDE}` (2 góc so le trong)
mà `hat{ADI} = hat{BDE}` (Vì `ΔABD =ΔEBD`)
`-> hat{AID} = hat{ADI} (= hat{BDE})`
`-> ΔAID` cân tại `I`
$\\$
$\\$
$5,$
Xét `ΔIDA` và `ΔIDE` có :
`hat{IDA} = hat{IDE}` (Vì `ΔABD = ΔEBD`)
`DA = DE` (chứng minh trên)
`ID` chung
`-> ΔIDA = ΔIDE` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{DIE} = hat{IDA}` (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
$→ EI//AC$
$\\$
$\\$
$6,$
Xét `ΔADF` và `ΔEDC` có :
`hat{DAF} = hat{DEC} = 90^o`
`DA = DE` (chứng minh trên)
`AF = EC` (giả thiết)
`-> ΔADF = ΔEDC` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{ADF} = hat{EDC}` (2 góc tương ứng)
Ta có : `hat{EDC} + hat{EDA} = 180^o` (2 góc kề bù)
mà `hat{ADF} = hat{EDC}`
`-> hat{ADF} + hat{EDA} = 180^o`
`-> hat{EDF}` là góc bẹt
`-> E,D,F` thẳng hằng
$\\$
$\\$
$7,$
Đề `ΔABE` đều thì cần thêm điều kiện :
\(\left\{ \begin{array}{l}AB = EB\\\widehat{ABC}=60^o\end{array} \right.\)
`-> ΔABE` đều
$\\$
$\\$
$8,$
Ta có : `AB = EB` (chứng minh trên)
`-> ΔABE` cân tại `B`
`-> hat{BAE} = hat{BEA} = (180^o - hat{B})/2` `(3)`
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB + AF = BF\\EB + EC = BC\end{array} \right.\)
mà `AB = EB, AF = EC`
`-> BF = BC`
`-> ΔFBC` cân tại `B`
`-> hat{BFC} = hat{BCF} = (180^o - hat{B})/2` `(4)`
Từ `(3)` và `(4)`
`-> hat{BAE} = hat{BFC} (= (180^o - hat{B})/2)`
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
$→ AE//FC$
$\\$
$\\$
$9,$
Để `E` là trung điểm của `BC`
\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{FEC}=90^o\\\widehat{FCE}=30^o\end{array} \right.\)
Áp dụng tính chất cạnh đối diện với góc `30^o` trong tam giác vuông thì bằng `1/2` cạnh huyền
`-> FE = 1/2 BC`
và `ΔBFC` cân tại `F`
`-> FE` là đường trung tuyến
`-> E` là trung điểm của `BC`
