Đáp án:
b. $m\in\{\pm\sqrt{\sqrt{5}-2}, \pm1\}$
Giải thích các bước giải:
a.Phương trình hoành độ giao điểm của $(d), (P)$ là:
$x^2=mx+1$
$\to x^2-mx-1=0(*)$
Vì $ac=-1<0$
$\to (*)$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt
$\to (d)$ luôn cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa mãn
$\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-1\end{cases}$
b.Ta có $x_1$ là nghiệm của $(*)$
$\to x_1^2=mx_1+1$
Để $m\sqrt{mx_1+1}=x_2^2-2$
$\to m\sqrt{x_1^2}=x_2^2-2$
$\to m|x_1|=x_2^2-2$
Trường hợp $1: x_1<0$
$\to -mx_1=x_2^2-2$
$\to -(mx_1+1)=x_2^2-3$
$\to -x_1^2=x_2^2-3$
$\to x_1^2+x_2^2=3$
$\to (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3$
$\to m^2-2\cdot (-1)=3$
$\to m^2=1$
$\to m=\pm1$
Trường hợp $2: x_1\ge0$
$\to mx_1=x_2^2-2$
$\to mx_1+1=x_2^2-1$
$\to x_1^2=x_2^2-1$
$\to x_1^2-x_2^2=-1$
$\to (x_1-x_2)(x_1+x_2)=-1$
$\to (x_1-x_2)m=-1$
$\to m\ne 0$ và $x_1-x_2=\dfrac{-1}m$
$\to x_1+x_2-2x_2=-\dfrac1m$
$\to m-2x_2=-\dfrac1m$
$\to 2x_2=m+\dfrac1m$
$\to x_2=\dfrac12(m+\dfrac1m)$
Mà $x_2$ là nghiệm của $(*)$
$\to (\dfrac12(m+\dfrac1m))^2-m\cdot \dfrac12(m+\dfrac1m)-1=0$
$\to m=\pm\sqrt{\sqrt{5}-2}$
