`1)` Vì $BD;CE$ là hai đường cao $∆ABC$
`=>\hat{BDC}=\hat{BEC}=90°`
`=>` Hai đỉnh `D;E` cùng nhìn $BC$ dưới góc vuông
`=>BCDE` nội tiếp
Ta có: `\hat{ABD}=\hat{ACE}` (cùng phụ `\hat{BAD}`)
Ta lại có:
`\hat{ABD}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AP}` (góc nội tiếp chắn cung $AP$)
`\hat{ACE}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AQ}` (góc nội tiếp chắn cung $AQ$)
`=>sđ\stackrel\frown{AP}=sđ\stackrel\frown{AQ}`
`=>\stackrel\frown{AP}=\stackrel\frown{AQ}` (đpcm)
$\\$
`2)` Ta có:
`\hat{EBH}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AP}` (góc nội tiếp chắn cung $AP$)
`\hat{EBQ}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AQ}` (góc nội tiếp chắn cung $AQ$)
Mà `sđ\stackrel\frown{AP}=sđ\stackrel\frown{AQ}` (câu a)
`=>\hat{EBH}=\hat{EBQ}`
`=>BE` là phân giác `\hat{HBQ}`
Ta lại có: $BE\perp HQ$
`=>BE` vừa là phân giác và đường cao $∆BQH$
`=>∆BQH` cân tại $B$
`=>BE` đồng thời là đường trung tuyến
`=>E` là trung điểm $HQ$ (đpcm)
$\\$
Vẽ tiếp tuyến `At` tại $A$ của `(O)`
`=>At`$\perp OA$ $\quad (1)$
`\qquad \hat{tAB}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $AB$)
$\\$
Vì $BCDE$ nội tiếp
`=>\hat{AED}=\hat{ACB}` (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
$\\$
`=>\hat{tAB}=\hat{AED}`
Mà hai góc `\hat{tAB}; \hat{AED}` ở vị trí so le trong
`=>At`//$DE$ `\quad (2)`
Từ `(1);(2)=>DE`$\perp OA$ (đpcm)
