`a/(b + c + d) = b/(c + d + a) = c/(d + a + b) = d/(a + b + c)`
`⇒ a/(b + c + d) + 1 = b/(c + d + a) + 1 = c/(d + a + b) + 1 = d/(a + b + c) + 1`
`⇒ (a + b + c + d)/(b + c + d) = (a + b + c + d)/(c + d + a) = (a + b + c + d)/(d + a + b) = (a + b + c + d)/(a + b + c)`
`+)` Nếu `a + b + c + d = 0`
`⇒` $\left \{ {{a + b = -(c + d)} \atop {b+c=-(d + a)}} \right.$
`⇒` $\left \{ {{\frac {a+b} {c+d} = \frac {c+d} {a+b} = -1} \atop {\frac {b+c} {d +a} = \frac {d +a} {b+c} = -1}} \right.$
`⇒ Q = (a+b)/(c+d) + (b+c)/(d+a) + (c+d)/(a+b) + (d+a)/(b+c)`
`= (-1) + (-1) + (-1) + (-1)`
`= -4`
`⇒ Q = -4 (1)`
`+)` Nếu `a+ b + c + d ne 0`
`⇒ b + c + d = c + d + a = d + a + b = a + b + c`
`⇒ a = b = c = d`
`⇒ a + b = b + c = c + d = d + a`
`⇒ (a + b)/(c + d) = (b + c)/(d + a) = (c + d)/(a + b) + (d + a)/(b + c) = 1`
`⇒ (a + b)/(c + d) + (b + c)/ (d + a) + (c + d)/(a + b) + (d + a)/(b + c) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4`
`⇒ Q = 4 (2)`
Từ `(1)` và `(2) ⇒` Biểu thức `Q` luôn có giá trị nguyên.
