Giải thích các bước giải:
a, Xét tứ giác $APOQ$ có:
$\widehat {APO} = \widehat {AQO} = {90^0}$
⇒ $\widehat {APO} + \widehat {AQO} = {180^0}$
mà hai góc này là 2 góc đối
⇒ Tứ giác $APOQ$ là tứ giác nội tiếp
⇒ 4 điểm A, P, O, Q cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)
b, Xét ΔAKN vàΔPAK có:
* $\widehat{AKP}$ chung;
* $\widehat{APN}$ = $\widehat{AMP}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung NP)
mà $\widehat{NAK}$ = $\widehat{AMP}$ (PM ║ AQ)
⇒ $\widehat{NAK}$ = $\widehat{APN}$
hay $\widehat{NAK}$ = $\widehat{APK}$
⇒ΔAKN ~ ΔPKA (g.g)
⇒ $\frac{AK}{PK}$ = $\frac{AN}{PA}$
⇒ AK.PA = AN.PK (đpcm)
c, Ta có $AQ ⊥ QS$ (AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q)
Mà $PM ║ AQ$ (gt) ⇒ $PM⊥ QS$
Đường kính $QS ⊥ PM$ nên $QS$ đi qua điểm chính giữa của cung PM nhỏ
⇒ sđ$\widehat {PS}$ = sđ$\widehat {SM}$
⇒ $\widehat {PNS} = \widehat {SNM}$ (hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
mà $\widehat {PNS} = \widehat {PQO}$ (2 góc cùng chắn 1 cung)
và $\widehat {OPQ} = \widehat {PQO}$ (ΔOPQ cân tại O)
⇒ $\widehat {OPQ} = \widehat {SNM}$ (đpcm)
d, Chứng minh được ΔAQO vuông ở $Q$, có $QG ⊥ AO$ (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
$OQ^2$ = OI.OA
⇒ OI = $\frac{{O{Q^2}}}{{OA}} = \frac{{{R^2}}}{{3R}} = \frac{1}{3}R$
⇒ AI = OA - OI = 3R - $\frac{1}{3}R = \frac{8}{3}R$
Do ΔKNQ ~ ΔKQP (g.g)
⇒ $KQ^2 = KN.KP$
mà $AK^2 = NK.KP$ nên $AK = KQ$
Vậy ΔAPQ có các trung tuyến $AI$ và $PK$ cắt nhau ở $G$ nên $G$ là trọng tâm
⇒ $AG = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}.\frac{8}{3}R = \frac{{16}}{9}R$
